Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39900 / 41564
↖ ↑ ↗
← S 43.436966°
E 39.177246°		 ← 443.51 m → S 43.436966°
E 39.182739°		 →
↑
443.55 m
↓
↑
443.55 m
↓
S 43.440955°
E 39.177246°		 ← 443.48 m →
196 713 m²		 S 43.440955°
E 39.182739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608833312988281 y=0.634223937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608833312988281 × 216)
    floor (0.608833312988281 × 65536)
    floor (39900.5)     		tx = 39900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634223937988281 × 216)
    floor (0.634223937988281 × 65536)
    floor (41564.5)     		ty = 41564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39900 / 41564 ti = "16/39900/41564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39900/41564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39900 ÷ 216
    39900 ÷ 65536     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41564 ÷ 216
    41564 ÷ 65536     		y = 0.63421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843305938116028))-π/2
    2×atan(0.430285671688136)-π/2
    2×0.406339126821312-π/2
    0.812678253642624-1.57079632675     		φ = -0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39900 KachelY 41564 0.68377194 -0.75811807 39.177246 -43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 39901 KachelY 41564 0.68386781 -0.75811807 39.182739 -43.436966
    Unten links KachelX 39900 KachelY + 1 41565 0.68377194 -0.75818769 39.177246 -43.440955
    Unten rechts KachelX + 1 39901 KachelY + 1 41565 0.68386781 -0.75818769 39.182739 -43.440955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75811807--0.75818769) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dl = 443.549019999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75811807--0.75818769) × R
    6.96199999999925e-05 × 6371000     		dr = 443.549019999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(-0.75811807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 443.512073691029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(-0.75818769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726083358931782 × 6371000     		du = 443.482835636043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75811807)-sin(-0.75818769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.726083358931782)×R²
    abs(0.68386781-0.68377194)×4.78694178610573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78694178610573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78694178610573e-05×40589641000000     		ar = 196712.861468081m²