Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39899 / 41697
↖ ↑ ↗
← S 43.965145°
E 39.171753°		 ← 439.67 m → S 43.965145°
E 39.177246°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
S 43.969098°
E 39.171753°		 ← 439.64 m →
193 271 m²		 S 43.969098°
E 39.177246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608818054199219 y=0.636253356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608818054199219 × 216)
    floor (0.608818054199219 × 65536)
    floor (39899.5)     		tx = 39899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636253356933594 × 216)
    floor (0.636253356933594 × 65536)
    floor (41697.5)     		ty = 41697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39899 / 41697 ti = "16/39899/41697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39899/41697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39899 ÷ 216
    39899 ÷ 65536     		x = 0.608810424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41697 ÷ 216
    41697 ÷ 65536     		y = 0.636245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608810424804688 × 2 - 1) × π
    0.217620849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68367606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636245727539062 × 2 - 1) × π
    -0.272491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856057153414963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68367606} λ = 0.68367606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856057153414963))-π/2
    2×atan(0.424833839063355)-π/2
    2×0.401729899213913-π/2
    0.803459798427827-1.57079632675     		φ = -0.76733653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68367606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.171753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76733653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.965145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39899 KachelY 41697 0.68367606 -0.76733653 39.171753 -43.965145
    Oben rechts KachelX + 1 39900 KachelY 41697 0.68377194 -0.76733653 39.177246 -43.965145
    Unten links KachelX 39899 KachelY + 1 41698 0.68367606 -0.76740553 39.171753 -43.969098
    Unten rechts KachelX + 1 39900 KachelY + 1 41698 0.68377194 -0.76740553 39.177246 -43.969098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76733653--0.76740553) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76733653--0.76740553) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68367606-0.68377194) × cos(-0.76733653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.7197622562891 × 6371000     		do = 439.667839502048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68367606-0.68377194) × cos(-0.76740553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.719714353351712 × 6371000     		du = 439.638577921848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76733653)-sin(-0.76740553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7197622562891-0.719714353351712)×R²
    abs(0.68377194-0.68367606)×4.79029373877671e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79029373877671e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79029373877671e-05×40589641000000     		ar = 193271.110973344m²