Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39897 / 42035
↖ ↑ ↗
← S 45.286482°
E 39.160766°		 ← 429.77 m → S 45.286482°
E 39.166260°		 →
↑
429.72 m
↓
↑
429.72 m
↓
S 45.290347°
E 39.160766°		 ← 429.74 m →
184 677 m²		 S 45.290347°
E 39.166260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608787536621094 y=0.641410827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608787536621094 × 216)
    floor (0.608787536621094 × 65536)
    floor (39897.5)     		tx = 39897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641410827636719 × 216)
    floor (0.641410827636719 × 65536)
    floor (42035.5)     		ty = 42035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39897 / 42035 ti = "16/39897/42035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39897/42035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39897 ÷ 216
    39897 ÷ 65536     		x = 0.608779907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42035 ÷ 216
    42035 ÷ 65536     		y = 0.641403198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608779907226562 × 2 - 1) × π
    0.217559814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68348431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641403198242188 × 2 - 1) × π
    -0.282806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.888462497558121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68348431} λ = 0.68348431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888462497558121))-π/2
    2×atan(0.411287622601218)-π/2
    2×0.390199054871323-π/2
    0.780398109742646-1.57079632675     		φ = -0.79039822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68348431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.160766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79039822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.286482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39897 KachelY 42035 0.68348431 -0.79039822 39.160766 -45.286482
    Oben rechts KachelX + 1 39898 KachelY 42035 0.68358019 -0.79039822 39.166260 -45.286482
    Unten links KachelX 39897 KachelY + 1 42036 0.68348431 -0.79046567 39.160766 -45.290347
    Unten rechts KachelX + 1 39898 KachelY + 1 42036 0.68358019 -0.79046567 39.166260 -45.290347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79039822--0.79046567) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dl = 429.723949999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79039822--0.79046567) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dr = 429.723949999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68348431-0.68358019) × cos(-0.79039822) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.703562382971969 × 6371000     		do = 429.77212291097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68348431-0.68358019) × cos(-0.79046567) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.703514449141908 × 6371000     		du = 429.742842459935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79039822)-sin(-0.79046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703562382971969-0.703514449141908)×R²
    abs(0.68358019-0.68348431)×4.79338300602983e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79338300602983e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79338300602983e-05×40589641000000     		ar = 184677.083071443m²