Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39894 / 42026
↖ ↑ ↗
← S 45.251688°
E 39.144287°		 ← 430.04 m → S 45.251688°
E 39.149780°		 →
↑
429.98 m
↓
↑
429.98 m
↓
S 45.255555°
E 39.144287°		 ← 430.01 m →
184 900 m²		 S 45.255555°
E 39.149780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608741760253906 y=0.641273498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608741760253906 × 216)
    floor (0.608741760253906 × 65536)
    floor (39894.5)     		tx = 39894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641273498535156 × 216)
    floor (0.641273498535156 × 65536)
    floor (42026.5)     		ty = 42026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39894 / 42026 ti = "16/39894/42026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39894/42026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39894 ÷ 216
    39894 ÷ 65536     		x = 0.608734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42026 ÷ 216
    42026 ÷ 65536     		y = 0.641265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608734130859375 × 2 - 1) × π
    0.21746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68319669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.28253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88759963336496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68319669} λ = 0.68319669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88759963336496))-π/2
    2×atan(0.411642661116834)-π/2
    2×0.390502687328726-π/2
    0.781005374657452-1.57079632675     		φ = -0.78979095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68319669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.144287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78979095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.251688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39894 KachelY 42026 0.68319669 -0.78979095 39.144287 -45.251688
    Oben rechts KachelX + 1 39895 KachelY 42026 0.68329257 -0.78979095 39.149780 -45.251688
    Unten links KachelX 39894 KachelY + 1 42027 0.68319669 -0.78985844 39.144287 -45.255555
    Unten rechts KachelX + 1 39895 KachelY + 1 42027 0.68329257 -0.78985844 39.149780 -45.255555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78979095--0.78985844) × R
    6.74900000000589e-05 × 6371000     		dl = 429.978790000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78979095--0.78985844) × R
    6.74900000000589e-05 × 6371000     		dr = 429.978790000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68319669-0.68329257) × cos(-0.78979095) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703993799623064 × 6371000     		do = 430.03565441029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68319669-0.68329257) × cos(-0.78985844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703945866208883 × 6371000     		du = 430.006374213296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78979095)-sin(-0.78985844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703993799623064-0.703945866208883)×R²
    abs(0.68329257-0.68319669)×4.79334141804122e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79334141804122e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79334141804122e-05×40589641000000     		ar = 184899.915478994m²