Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39893 / 41438
↖ ↑ ↗
← S 42.932296°
E 39.138794°		 ← 447.19 m → S 42.932296°
E 39.144287°		 →
↑
447.18 m
↓
↑
447.18 m
↓
S 42.936318°
E 39.138794°		 ← 447.16 m →
199 970 m²		 S 42.936318°
E 39.144287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608726501464844 y=0.632301330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608726501464844 × 216)
    floor (0.608726501464844 × 65536)
    floor (39893.5)     		tx = 39893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632301330566406 × 216)
    floor (0.632301330566406 × 65536)
    floor (41438.5)     		ty = 41438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39893 / 41438 ti = "16/39893/41438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39893/41438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39893 ÷ 216
    39893 ÷ 65536     		x = 0.608718872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41438 ÷ 216
    41438 ÷ 65536     		y = 0.632293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608718872070312 × 2 - 1) × π
    0.217437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68310082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.26458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831225839411774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68310082} λ = 0.68310082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831225839411774))-π/2
    2×atan(0.435515087408822)-π/2
    2×0.410743202919677-π/2
    0.821486405839354-1.57079632675     		φ = -0.74930992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68310082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.138794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74930992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.932296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39893 KachelY 41438 0.68310082 -0.74930992 39.138794 -42.932296
    Oben rechts KachelX + 1 39894 KachelY 41438 0.68319669 -0.74930992 39.144287 -42.932296
    Unten links KachelX 39893 KachelY + 1 41439 0.68310082 -0.74938011 39.138794 -42.936318
    Unten rechts KachelX + 1 39894 KachelY + 1 41439 0.68319669 -0.74938011 39.144287 -42.936318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74930992--0.74938011) × R
    7.0190000000081e-05 × 6371000     		dl = 447.180490000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74930992--0.74938011) × R
    7.0190000000081e-05 × 6371000     		dr = 447.180490000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68310082-0.68319669) × cos(-0.74930992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732159079893084 × 6371000     		do = 447.193811693139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68310082-0.68319669) × cos(-0.74938011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732111269317011 × 6371000     		du = 447.164609577997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74930992)-sin(-0.74938011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732159079893084-0.732111269317011)×R²
    abs(0.68319669-0.68310082)×4.78105760729486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78105760729486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78105760729486e-05×40589641000000     		ar = 199969.818611962m²