Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39892 / 41556
↖ ↑ ↗
← S 43.405047°
E 39.133301°		 ← 443.75 m → S 43.405047°
E 39.138794°		 →
↑
443.74 m
↓
↑
443.74 m
↓
S 43.409038°
E 39.133301°		 ← 443.72 m →
196 901 m²		 S 43.409038°
E 39.138794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608711242675781 y=0.634101867675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608711242675781 × 216)
    floor (0.608711242675781 × 65536)
    floor (39892.5)     		tx = 39892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634101867675781 × 216)
    floor (0.634101867675781 × 65536)
    floor (41556.5)     		ty = 41556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39892 / 41556 ti = "16/39892/41556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39892/41556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39892 ÷ 216
    39892 ÷ 65536     		x = 0.60870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41556 ÷ 216
    41556 ÷ 65536     		y = 0.63409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60870361328125 × 2 - 1) × π
    0.2174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68300495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63409423828125 × 2 - 1) × π
    -0.2681884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842538947722107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68300495} λ = 0.68300495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842538947722107))-π/2
    2×atan(0.430615823260319)-π/2
    2×0.406617668082281-π/2
    0.813235336164561-1.57079632675     		φ = -0.75756099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68300495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.133301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75756099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.405047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39892 KachelY 41556 0.68300495 -0.75756099 39.133301 -43.405047
    Oben rechts KachelX + 1 39893 KachelY 41556 0.68310082 -0.75756099 39.138794 -43.405047
    Unten links KachelX 39892 KachelY + 1 41557 0.68300495 -0.75763064 39.133301 -43.409038
    Unten rechts KachelX + 1 39893 KachelY + 1 41557 0.68310082 -0.75763064 39.138794 -43.409038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75756099--0.75763064) × R
    6.96500000000322e-05 × 6371000     		dl = 443.740150000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75756099--0.75763064) × R
    6.96500000000322e-05 × 6371000     		dr = 443.740150000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68300495-0.68310082) × cos(-0.75756099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726514139428596 × 6371000     		do = 443.745951095052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68300495-0.68310082) × cos(-0.75763064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726466277563378 × 6371000     		du = 443.716717653127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75756099)-sin(-0.75763064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726514139428596-0.726466277563378)×R²
    abs(0.68310082-0.68300495)×4.78618652182128e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78618652182128e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78618652182128e-05×40589641000000     		ar = 196901.408954641m²