Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39891 / 41653
↖ ↑ ↗
← S 43.790924°
E 39.127808°		 ← 440.96 m → S 43.790924°
E 39.133301°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
S 43.794889°
E 39.127808°		 ← 440.93 m →
194 427 m²		 S 43.794889°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608695983886719 y=0.635581970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608695983886719 × 216)
    floor (0.608695983886719 × 65536)
    floor (39891.5)     		tx = 39891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635581970214844 × 216)
    floor (0.635581970214844 × 65536)
    floor (41653.5)     		ty = 41653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39891 / 41653 ti = "16/39891/41653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39891/41653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39891 ÷ 216
    39891 ÷ 65536     		x = 0.608688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41653 ÷ 216
    41653 ÷ 65536     		y = 0.635574340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608688354492188 × 2 - 1) × π
    0.217376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68290907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635574340820312 × 2 - 1) × π
    -0.271148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851838706248398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68290907} λ = 0.68290907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851838706248398))-π/2
    2×atan(0.426629763510961)-π/2
    2×0.403250261532963-π/2
    0.806500523065925-1.57079632675     		φ = -0.76429580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68290907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76429580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.790924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39891 KachelY 41653 0.68290907 -0.76429580 39.127808 -43.790924
    Oben rechts KachelX + 1 39892 KachelY 41653 0.68300495 -0.76429580 39.133301 -43.790924
    Unten links KachelX 39891 KachelY + 1 41654 0.68290907 -0.76436501 39.127808 -43.794889
    Unten rechts KachelX + 1 39892 KachelY + 1 41654 0.68300495 -0.76436501 39.133301 -43.794889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76429580--0.76436501) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dl = 440.936910000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76429580--0.76436501) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dr = 440.936910000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.76429580) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		do = 440.955274232963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.76436501) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.721821966040657 × 6371000     		du = 440.926016252666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76429580)-sin(-0.76436501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721869863084791-0.721821966040657)×R²
    abs(0.68300495-0.68290907)×4.78970441339932e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78970441339932e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78970441339932e-05×40589641000000     		ar = 194427.005684549m²