Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39891 / 41579
↖ ↑ ↗
← S 43.496768°
E 39.127808°		 ← 443.12 m → S 43.496768°
E 39.133301°		 →
↑
443.10 m
↓
↑
443.10 m
↓
S 43.500753°
E 39.127808°		 ← 443.09 m →
196 341 m²		 S 43.500753°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608695983886719 y=0.634452819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608695983886719 × 216)
    floor (0.608695983886719 × 65536)
    floor (39891.5)     		tx = 39891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634452819824219 × 216)
    floor (0.634452819824219 × 65536)
    floor (41579.5)     		ty = 41579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39891 / 41579 ti = "16/39891/41579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39891/41579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39891 ÷ 216
    39891 ÷ 65536     		x = 0.608688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41579 ÷ 216
    41579 ÷ 65536     		y = 0.634445190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608688354492188 × 2 - 1) × π
    0.217376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68290907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634445190429688 × 2 - 1) × π
    -0.268890380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84474404510463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68290907} λ = 0.68290907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84474404510463))-π/2
    2×atan(0.429667319591392)-π/2
    2×0.405817257769801-π/2
    0.811634515539602-1.57079632675     		φ = -0.75916181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68290907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75916181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.496768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39891 KachelY 41579 0.68290907 -0.75916181 39.127808 -43.496768
    Oben rechts KachelX + 1 39892 KachelY 41579 0.68300495 -0.75916181 39.133301 -43.496768
    Unten links KachelX 39891 KachelY + 1 41580 0.68290907 -0.75923136 39.127808 -43.500753
    Unten rechts KachelX + 1 39892 KachelY + 1 41580 0.68300495 -0.75923136 39.133301 -43.500753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75916181--0.75923136) × R
    6.95499999999738e-05 × 6371000     		dl = 443.103049999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75916181--0.75923136) × R
    6.95499999999738e-05 × 6371000     		dr = 443.103049999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.75916181) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.725413203118091 × 6371000     		do = 443.119728736449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.75923136) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.725365329149086 × 6371000     		du = 443.090484851629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75916181)-sin(-0.75923136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725413203118091-0.725365329149086)×R²
    abs(0.68300495-0.68290907)×4.78739690045193e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78739690045193e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78739690045193e-05×40589641000000     		ar = 196341.224369954m²