Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39891 / 41457
↖ ↑ ↗
← S 43.008664°
E 39.127808°		 ← 446.69 m → S 43.008664°
E 39.133301°		 →
↑
446.61 m
↓
↑
446.61 m
↓
S 43.012681°
E 39.127808°		 ← 446.66 m →
199 486 m²		 S 43.012681°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608695983886719 y=0.632591247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608695983886719 × 216)
    floor (0.608695983886719 × 65536)
    floor (39891.5)     		tx = 39891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632591247558594 × 216)
    floor (0.632591247558594 × 65536)
    floor (41457.5)     		ty = 41457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39891 / 41457 ti = "16/39891/41457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39891/41457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39891 ÷ 216
    39891 ÷ 65536     		x = 0.608688354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41457 ÷ 216
    41457 ÷ 65536     		y = 0.632583618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608688354492188 × 2 - 1) × π
    0.217376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68290907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632583618164062 × 2 - 1) × π
    -0.265167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.833047441597336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68290907} λ = 0.68290907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833047441597336))-π/2
    2×atan(0.434722474305806)-π/2
    2×0.410076765355955-π/2
    0.820153530711909-1.57079632675     		φ = -0.75064280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68290907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.127808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75064280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.008664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39891 KachelY 41457 0.68290907 -0.75064280 39.127808 -43.008664
    Oben rechts KachelX + 1 39892 KachelY 41457 0.68300495 -0.75064280 39.133301 -43.008664
    Unten links KachelX 39891 KachelY + 1 41458 0.68290907 -0.75071290 39.127808 -43.012681
    Unten rechts KachelX + 1 39892 KachelY + 1 41458 0.68300495 -0.75071290 39.133301 -43.012681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75064280--0.75071290) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dl = 446.607099999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75064280--0.75071290) × R
    7.00999999999619e-05 × 6371000     		dr = 446.607099999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.75064280) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		do = 446.685487037871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68290907-0.68300495) × cos(-0.75071290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731202742711166 × 6371000     		du = 446.656277565399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75064280)-sin(-0.75071290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731250560345122-0.731202742711166)×R²
    abs(0.68300495-0.68290907)×4.78176339561154e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78176339561154e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78176339561154e-05×40589641000000     		ar = 199486.387480645m²