Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39890 / 9458
↖ ↑ ↗
← N 77.783866°
E 39.122315°		 ← 129.24 m → N 77.783866°
E 39.127808°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 77.782704°
E 39.122315°		 ← 129.25 m →
16 708 m²		 N 77.782704°
E 39.127808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608680725097656 y=0.144325256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608680725097656 × 216)
    floor (0.608680725097656 × 65536)
    floor (39890.5)     		tx = 39890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144325256347656 × 216)
    floor (0.144325256347656 × 65536)
    floor (9458.5)     		ty = 9458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39890 / 9458 ti = "16/39890/9458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39890/9458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39890 ÷ 216
    39890 ÷ 65536     		x = 0.608673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9458 ÷ 216
    9458 ÷ 65536     		y = 0.144317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608673095703125 × 2 - 1) × π
    0.21734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68281320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144317626953125 × 2 - 1) × π
    0.71136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23481826028702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68281320} λ = 0.68281320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23481826028702))-π/2
    2×atan(9.34478337961206)-π/2
    2×1.46419044680761-π/2
    2.92838089361521-1.57079632675     		φ = 1.35758457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68281320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.122315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35758457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.783866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39890 KachelY 9458 0.68281320 1.35758457 39.122315 77.783866
    Oben rechts KachelX + 1 39891 KachelY 9458 0.68290907 1.35758457 39.127808 77.783866
    Unten links KachelX 39890 KachelY + 1 9459 0.68281320 1.35756428 39.122315 77.782704
    Unten rechts KachelX + 1 39891 KachelY + 1 9459 0.68290907 1.35756428 39.127808 77.782704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35758457-1.35756428) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35758457-1.35756428) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68281320-0.68290907) × cos(1.35758457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21160001671085 × 6371000     		do = 129.24270233878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68281320-0.68290907) × cos(1.35756428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211619847227614 × 6371000     		du = 129.254814575892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35758457)-sin(1.35756428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21160001671085-0.211619847227614)×R²
    abs(0.68290907-0.68281320)×1.98305167635748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98305167635748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98305167635748e-05×40589641000000     		ar = 16707.6755167798m²