Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39889 / 9424
↖ ↑ ↗
← N 77.823323°
E 39.116821°		 ← 128.85 m → N 77.823323°
E 39.122315°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
N 77.822164°
E 39.116821°		 ← 128.86 m →
16 599 m²		 N 77.822164°
E 39.122315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608665466308594 y=0.143806457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608665466308594 × 216)
    floor (0.608665466308594 × 65536)
    floor (39889.5)     		tx = 39889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143806457519531 × 216)
    floor (0.143806457519531 × 65536)
    floor (9424.5)     		ty = 9424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39889 / 9424 ti = "16/39889/9424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39889/9424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39889 ÷ 216
    39889 ÷ 65536     		x = 0.608657836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9424 ÷ 216
    9424 ÷ 65536     		y = 0.143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608657836914062 × 2 - 1) × π
    0.217315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68271732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23807796946118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68271732} λ = 0.68271732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23807796946118))-π/2
    2×atan(9.37529435716516)-π/2
    2×1.46453477525445-π/2
    2.9290695505089-1.57079632675     		φ = 1.35827322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68271732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.116821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35827322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.823323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39889 KachelY 9424 0.68271732 1.35827322 39.116821 77.823323
    Oben rechts KachelX + 1 39890 KachelY 9424 0.68281320 1.35827322 39.122315 77.823323
    Unten links KachelX 39889 KachelY + 1 9425 0.68271732 1.35825300 39.116821 77.822164
    Unten rechts KachelX + 1 39890 KachelY + 1 9425 0.68281320 1.35825300 39.122315 77.822164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35827322-1.35825300) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dl = 128.821620000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35827322-1.35825300) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dr = 128.821620000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68271732-0.68281320) × cos(1.35827322) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.210926910139841 × 6371000     		do = 128.845015230814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68271732-0.68281320) × cos(1.35825300) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.210946675183837 × 6371000     		du = 128.857088737191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35827322)-sin(1.35825300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210926910139841-0.210946675183837)×R²
    abs(0.68281320-0.68271732)×1.97650439958119e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97650439958119e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97650439958119e-05×40589641000000     		ar = 16598.8012561523m²