Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39889 / 19410
↖ ↑ ↗
← N 77.493418°
W 70.441589°		 ← 66.13 m → N 77.493418°
W 70.438843°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.492823°
W 70.441589°		 ← 66.13 m →
4 373 m²		 N 77.492823°
W 70.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304332733154297 y=0.148090362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304332733154297 × 217)
    floor (0.304332733154297 × 131072)
    floor (39889.5)     		tx = 39889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148090362548828 × 217)
    floor (0.148090362548828 × 131072)
    floor (19410.5)     		ty = 19410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39889 / 19410 ti = "17/39889/19410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39889/19410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39889 ÷ 217
    39889 ÷ 131072     		x = 0.304328918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19410 ÷ 217
    19410 ÷ 131072     		y = 0.148086547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304328918457031 × 2 - 1) × π
    -0.391342163085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.22943766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148086547851562 × 2 - 1) × π
    0.703826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21113743187471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22943766} λ = -1.22943766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21113743187471))-π/2
    2×atan(9.12609079839774)-π/2
    2×1.46165580711841-π/2
    2.92331161423682-1.57079632675     		φ = 1.35251529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22943766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.441589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35251529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.493418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39889 KachelY 19410 -1.22943766 1.35251529 -70.441589 77.493418
    Oben rechts KachelX + 1 39890 KachelY 19410 -1.22938973 1.35251529 -70.438843 77.493418
    Unten links KachelX 39889 KachelY + 1 19411 -1.22943766 1.35250491 -70.441589 77.492823
    Unten rechts KachelX + 1 39890 KachelY + 1 19411 -1.22938973 1.35250491 -70.438843 77.492823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35251529-1.35250491) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35251529-1.35250491) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22943766--1.22938973) × cos(1.35251529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216551769683524 × 6371000     		do = 66.1266879906937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22943766--1.22938973) × cos(1.35250491) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216561903366249 × 6371000     		du = 66.1297824326222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35251529)-sin(1.35250491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216551769683524-0.216561903366249)×R²
    abs(-1.22938973--1.22943766)×1.01336827256771e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01336827256771e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01336827256771e-05×40589641000000     		ar = 4373.12500029271m²