Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39887 / 9463
↖ ↑ ↗
← N 77.778053°
E 39.105835°		 ← 129.30 m → N 77.778053°
E 39.111328°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 77.776890°
E 39.105835°		 ← 129.32 m →
16 724 m²		 N 77.776890°
E 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608634948730469 y=0.144401550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608634948730469 × 216)
    floor (0.608634948730469 × 65536)
    floor (39887.5)     		tx = 39887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144401550292969 × 216)
    floor (0.144401550292969 × 65536)
    floor (9463.5)     		ty = 9463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39887 / 9463 ti = "16/39887/9463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39887/9463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39887 ÷ 216
    39887 ÷ 65536     		x = 0.608627319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9463 ÷ 216
    9463 ÷ 65536     		y = 0.144393920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608627319335938 × 2 - 1) × π
    0.217254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68252558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144393920898438 × 2 - 1) × π
    0.711212158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23433889129082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68252558} λ = 0.68252558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23433889129082))-π/2
    2×atan(9.34030485370266)-π/2
    2×1.46413971768041-π/2
    2.92827943536082-1.57079632675     		φ = 1.35748311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68252558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.105835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35748311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.778053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39887 KachelY 9463 0.68252558 1.35748311 39.105835 77.778053
    Oben rechts KachelX + 1 39888 KachelY 9463 0.68262145 1.35748311 39.111328 77.778053
    Unten links KachelX 39887 KachelY + 1 9464 0.68252558 1.35746281 39.105835 77.776890
    Unten rechts KachelX + 1 39888 KachelY + 1 9464 0.68262145 1.35746281 39.111328 77.776890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35748311-1.35746281) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dl = 129.331300000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35748311-1.35746281) × R
    2.03000000000841e-05 × 6371000     		dr = 129.331300000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68252558-0.68262145) × cos(1.35748311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21169917819673 × 6371000     		do = 129.303268961611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68252558-0.68262145) × cos(1.35746281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211719018051072 × 6371000     		du = 129.315386902001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35748311)-sin(1.35746281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21169917819673-0.211719018051072)×R²
    abs(0.68262145-0.68252558)×1.98398543422851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98398543422851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98398543422851e-05×40589641000000     		ar = 16723.7434843578m²