Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39887 / 9421
↖ ↑ ↗
← N 77.826798°
E 39.105835°		 ← 128.80 m → N 77.826798°
E 39.111328°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
N 77.825640°
E 39.105835°		 ← 128.81 m →
16 592 m²		 N 77.825640°
E 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608634948730469 y=0.143760681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608634948730469 × 216)
    floor (0.608634948730469 × 65536)
    floor (39887.5)     		tx = 39887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143760681152344 × 216)
    floor (0.143760681152344 × 65536)
    floor (9421.5)     		ty = 9421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39887 / 9421 ti = "16/39887/9421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39887/9421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39887 ÷ 216
    39887 ÷ 65536     		x = 0.608627319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9421 ÷ 216
    9421 ÷ 65536     		y = 0.143753051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608627319335938 × 2 - 1) × π
    0.217254638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68252558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143753051757812 × 2 - 1) × π
    0.712493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2383655908589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68252558} λ = 0.68252558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2383655908589))-π/2
    2×atan(9.37799128026001)-π/2
    2×1.46456510453652-π/2
    2.92913020907304-1.57079632675     		φ = 1.35833388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68252558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.105835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35833388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.826798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39887 KachelY 9421 0.68252558 1.35833388 39.105835 77.826798
    Oben rechts KachelX + 1 39888 KachelY 9421 0.68262145 1.35833388 39.111328 77.826798
    Unten links KachelX 39887 KachelY + 1 9422 0.68252558 1.35831366 39.105835 77.825640
    Unten rechts KachelX + 1 39888 KachelY + 1 9422 0.68262145 1.35831366 39.111328 77.825640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35833388-1.35831366) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dl = 128.82161999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35833388-1.35831366) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dr = 128.82161999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68252558-0.68262145) × cos(1.35833388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210867614490463 × 6371000     		do = 128.795360019847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68252558-0.68262145) × cos(1.35831366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210887379793146 × 6371000     		du = 128.807432424996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35833388)-sin(1.35831366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210867614490463-0.210887379793146)×R²
    abs(0.68262145-0.68252558)×1.97653026827449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97653026827449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97653026827449e-05×40589641000000     		ar = 16592.4045202098m²