Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39883 / 9435
↖ ↑ ↗
← N 77.810571°
E 39.083862°		 ← 128.98 m → N 77.810571°
E 39.089356°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 77.809412°
E 39.083862°		 ← 128.99 m →
16 632 m²		 N 77.809412°
E 39.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608573913574219 y=0.143974304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608573913574219 × 216)
    floor (0.608573913574219 × 65536)
    floor (39883.5)     		tx = 39883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143974304199219 × 216)
    floor (0.143974304199219 × 65536)
    floor (9435.5)     		ty = 9435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39883 / 9435 ti = "16/39883/9435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39883/9435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39883 ÷ 216
    39883 ÷ 65536     		x = 0.608566284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9435 ÷ 216
    9435 ÷ 65536     		y = 0.143966674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608566284179688 × 2 - 1) × π
    0.217132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68214208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143966674804688 × 2 - 1) × π
    0.712066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23702335766954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68214208} λ = 0.68214208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23702335766954))-π/2
    2×atan(9.36541227298315)-π/2
    2×1.46442349490521-π/2
    2.92884698981043-1.57079632675     		φ = 1.35805066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68214208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.083862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35805066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.810571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39883 KachelY 9435 0.68214208 1.35805066 39.083862 77.810571
    Oben rechts KachelX + 1 39884 KachelY 9435 0.68223796 1.35805066 39.089356 77.810571
    Unten links KachelX 39883 KachelY + 1 9436 0.68214208 1.35803042 39.083862 77.809412
    Unten rechts KachelX + 1 39884 KachelY + 1 9436 0.68223796 1.35803042 39.089356 77.809412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35805066-1.35803042) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35805066-1.35803042) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68214208-0.68223796) × cos(1.35805066) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211144457722657 × 6371000     		do = 128.977904493747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68214208-0.68223796) × cos(1.35803042) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211164241365925 × 6371000     		du = 128.989989361517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35805066)-sin(1.35803042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211144457722657-0.211164241365925)×R²
    abs(0.68223796-0.68214208)×1.97836432681286e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97836432681286e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97836432681286e-05×40589641000000     		ar = 16632.356132171m²