Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39883 / 41596
↖ ↑ ↗
← S 43.564472°
E 39.083862°		 ← 442.62 m → S 43.564472°
E 39.089356°		 →
↑
442.53 m
↓
↑
442.53 m
↓
S 43.568452°
E 39.083862°		 ← 442.59 m →
195 867 m²		 S 43.568452°
E 39.089356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608573913574219 y=0.634712219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608573913574219 × 216)
    floor (0.608573913574219 × 65536)
    floor (39883.5)     		tx = 39883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634712219238281 × 216)
    floor (0.634712219238281 × 65536)
    floor (41596.5)     		ty = 41596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39883 / 41596 ti = "16/39883/41596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39883/41596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39883 ÷ 216
    39883 ÷ 65536     		x = 0.608566284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41596 ÷ 216
    41596 ÷ 65536     		y = 0.63470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608566284179688 × 2 - 1) × π
    0.217132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68214208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.2694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.846373899691711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68214208} λ = 0.68214208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846373899691711))-π/2
    2×atan(0.42896759471943)-π/2
    2×0.405226430361975-π/2
    0.81045286072395-1.57079632675     		φ = -0.76034347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68214208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.083862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76034347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.564472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39883 KachelY 41596 0.68214208 -0.76034347 39.083862 -43.564472
    Oben rechts KachelX + 1 39884 KachelY 41596 0.68223796 -0.76034347 39.089356 -43.564472
    Unten links KachelX 39883 KachelY + 1 41597 0.68214208 -0.76041293 39.083862 -43.568452
    Unten rechts KachelX + 1 39884 KachelY + 1 41597 0.68223796 -0.76041293 39.089356 -43.568452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76034347--0.76041293) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dl = 442.529659999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76034347--0.76041293) × R
    6.94599999999657e-05 × 6371000     		dr = 442.529659999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68214208-0.68223796) × cos(-0.76034347) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.724599344141759 × 6371000     		do = 442.622581776245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68214208-0.68223796) × cos(-0.76041293) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.724551472620337 × 6371000     		du = 442.593339386535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76034347)-sin(-0.76041293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724599344141759-0.724551472620337)×R²
    abs(0.68223796-0.68214208)×4.78715214217162e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78715214217162e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78715214217162e-05×40589641000000     		ar = 195867.150388091m²