Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39881 / 42089
↖ ↑ ↗
← S 45.494796°
E 39.072876°		 ← 428.19 m → S 45.494796°
E 39.078369°		 →
↑
428.13 m
↓
↑
428.13 m
↓
S 45.498647°
E 39.072876°		 ← 428.16 m →
183 316 m²		 S 45.498647°
E 39.078369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608543395996094 y=0.642234802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608543395996094 × 216)
    floor (0.608543395996094 × 65536)
    floor (39881.5)     		tx = 39881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642234802246094 × 216)
    floor (0.642234802246094 × 65536)
    floor (42089.5)     		ty = 42089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39881 / 42089 ti = "16/39881/42089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39881/42089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39881 ÷ 216
    39881 ÷ 65536     		x = 0.608535766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42089 ÷ 216
    42089 ÷ 65536     		y = 0.642227172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608535766601562 × 2 - 1) × π
    0.217071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68195033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642227172851562 × 2 - 1) × π
    -0.284454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893639682717087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68195033} λ = 0.68195033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893639682717087))-π/2
    2×atan(0.409163812847337)-π/2
    2×0.388381168644318-π/2
    0.776762337288636-1.57079632675     		φ = -0.79403399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68195033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.072876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79403399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.494796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39881 KachelY 42089 0.68195033 -0.79403399 39.072876 -45.494796
    Oben rechts KachelX + 1 39882 KachelY 42089 0.68204621 -0.79403399 39.078369 -45.494796
    Unten links KachelX 39881 KachelY + 1 42090 0.68195033 -0.79410119 39.072876 -45.498647
    Unten rechts KachelX + 1 39882 KachelY + 1 42090 0.68204621 -0.79410119 39.078369 -45.498647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79403399--0.79410119) × R
    6.7200000000045e-05 × 6371000     		dl = 428.131200000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79403399--0.79410119) × R
    6.7200000000045e-05 × 6371000     		dr = 428.131200000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68195033-0.68204621) × cos(-0.79403399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700974038570585 × 6371000     		do = 428.191028902138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68195033-0.68204621) × cos(-0.79410119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700926110835598 × 6371000     		du = 428.161752174289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79403399)-sin(-0.79410119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700974038570585-0.700926110835598)×R²
    abs(0.68204621-0.68195033)×4.79277349868523e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79277349868523e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79277349868523e-05×40589641000000     		ar = 183315.671961921m²