Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39881 / 41502
↖ ↑ ↗
← S 43.189158°
E 39.072876°		 ← 445.37 m → S 43.189158°
E 39.078369°		 →
↑
445.33 m
↓
↑
445.33 m
↓
S 43.193163°
E 39.072876°		 ← 445.34 m →
198 332 m²		 S 43.193163°
E 39.078369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608543395996094 y=0.633277893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608543395996094 × 216)
    floor (0.608543395996094 × 65536)
    floor (39881.5)     		tx = 39881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633277893066406 × 216)
    floor (0.633277893066406 × 65536)
    floor (41502.5)     		ty = 41502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39881 / 41502 ti = "16/39881/41502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39881/41502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39881 ÷ 216
    39881 ÷ 65536     		x = 0.608535766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41502 ÷ 216
    41502 ÷ 65536     		y = 0.633270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608535766601562 × 2 - 1) × π
    0.217071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68195033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633270263671875 × 2 - 1) × π
    -0.26654052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.837361762563141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68195033} λ = 0.68195033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837361762563141))-π/2
    2×atan(0.432850982032674)-π/2
    2×0.408501661922256-π/2
    0.817003323844513-1.57079632675     		φ = -0.75379300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68195033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.072876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75379300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.189158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39881 KachelY 41502 0.68195033 -0.75379300 39.072876 -43.189158
    Oben rechts KachelX + 1 39882 KachelY 41502 0.68204621 -0.75379300 39.078369 -43.189158
    Unten links KachelX 39881 KachelY + 1 41503 0.68195033 -0.75386290 39.072876 -43.193163
    Unten rechts KachelX + 1 39882 KachelY + 1 41503 0.68204621 -0.75386290 39.078369 -43.193163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75379300--0.75386290) × R
    6.98999999999561e-05 × 6371000     		dl = 445.33289999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75379300--0.75386290) × R
    6.98999999999561e-05 × 6371000     		dr = 445.33289999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68195033-0.68204621) × cos(-0.75379300) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.72909815591415 × 6371000     		do = 445.370687605137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68195033-0.68204621) × cos(-0.75386290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729050313933697 × 6371000     		du = 445.341463260571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75379300)-sin(-0.75386290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72909815591415-0.729050313933697)×R²
    abs(0.68204621-0.68195033)×4.78419804524899e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78419804524899e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78419804524899e-05×40589641000000     		ar = 198331.71268615m²