Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39880 / 42088
↖ ↑ ↗
← S 45.490946°
E 39.067383°		 ← 428.18 m → S 45.490946°
E 39.072876°		 →
↑
428.19 m
↓
↑
428.19 m
↓
S 45.494796°
E 39.067383°		 ← 428.15 m →
183 336 m²		 S 45.494796°
E 39.072876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608528137207031 y=0.642219543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608528137207031 × 216)
    floor (0.608528137207031 × 65536)
    floor (39880.5)     		tx = 39880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642219543457031 × 216)
    floor (0.642219543457031 × 65536)
    floor (42088.5)     		ty = 42088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39880 / 42088 ti = "16/39880/42088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39880/42088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39880 ÷ 216
    39880 ÷ 65536     		x = 0.6085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42088 ÷ 216
    42088 ÷ 65536     		y = 0.6422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6085205078125 × 2 - 1) × π
    0.217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68185446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68185446} λ = 0.68185446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893543808917847))-π/2
    2×atan(0.40920304281712)-π/2
    2×0.388414772315261-π/2
    0.776829544630521-1.57079632675     		φ = -0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68185446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39880 KachelY 42088 0.68185446 -0.79396678 39.067383 -45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 39881 KachelY 42088 0.68195033 -0.79396678 39.072876 -45.490946
    Unten links KachelX 39880 KachelY + 1 42089 0.68185446 -0.79403399 39.067383 -45.494796
    Unten rechts KachelX + 1 39881 KachelY + 1 42089 0.68195033 -0.79403399 39.072876 -45.494796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79396678--0.79403399) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dl = 428.194909999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79396678--0.79403399) × R
    6.72099999999842e-05 × 6371000     		dr = 428.194909999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68185446-0.68195033) × cos(-0.79396678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 428.175645943116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68185446-0.68195033) × cos(-0.79403399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700974038570585 × 6371000     		du = 428.146369846412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79396678)-sin(-0.79403399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.700974038570585)×R²
    abs(0.68195033-0.68185446)×4.79317008968971e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79317008968971e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79317008968971e-05×40589641000000     		ar = 183336.364309974m²