Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39880 / 41651
↖ ↑ ↗
← S 43.782993°
E 39.067383°		 ← 440.97 m → S 43.782993°
E 39.072876°		 →
↑
440.94 m
↓
↑
440.94 m
↓
S 43.786958°
E 39.067383°		 ← 440.94 m →
194 433 m²		 S 43.786958°
E 39.072876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608528137207031 y=0.635551452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608528137207031 × 216)
    floor (0.608528137207031 × 65536)
    floor (39880.5)     		tx = 39880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635551452636719 × 216)
    floor (0.635551452636719 × 65536)
    floor (41651.5)     		ty = 41651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39880 / 41651 ti = "16/39880/41651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39880/41651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39880 ÷ 216
    39880 ÷ 65536     		x = 0.6085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41651 ÷ 216
    41651 ÷ 65536     		y = 0.635543823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6085205078125 × 2 - 1) × π
    0.217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68185446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635543823242188 × 2 - 1) × π
    -0.271087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851646958649918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68185446} λ = 0.68185446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851646958649918))-π/2
    2×atan(0.426711576587034)-π/2
    2×0.403319474530828-π/2
    0.806638949061657-1.57079632675     		φ = -0.76415738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68185446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76415738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.782993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39880 KachelY 41651 0.68185446 -0.76415738 39.067383 -43.782993
    Oben rechts KachelX + 1 39881 KachelY 41651 0.68195033 -0.76415738 39.072876 -43.782993
    Unten links KachelX 39880 KachelY + 1 41652 0.68185446 -0.76422659 39.067383 -43.786958
    Unten rechts KachelX + 1 39881 KachelY + 1 41652 0.68195033 -0.76422659 39.072876 -43.786958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76415738--0.76422659) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dl = 440.936910000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76415738--0.76422659) × R
    6.92100000000417e-05 × 6371000     		dr = 440.936910000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68185446-0.68195033) × cos(-0.76415738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		do = 440.967787425269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68185446-0.68195033) × cos(-0.76422659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721917756671151 × 6371000     		du = 440.938536720565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76415738)-sin(-0.76422659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721965646799507-0.721917756671151)×R²
    abs(0.68195033-0.68185446)×4.7890128356598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7890128356598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7890128356598e-05×40589641000000     		ar = 194432.524816972m²