Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39879 / 41655
↖ ↑ ↗
← S 43.798854°
E 39.061890°		 ← 440.85 m → S 43.798854°
E 39.067383°		 →
↑
440.87 m
↓
↑
440.87 m
↓
S 43.802819°
E 39.061890°		 ← 440.82 m →
194 353 m²		 S 43.802819°
E 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608512878417969 y=0.635612487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608512878417969 × 216)
    floor (0.608512878417969 × 65536)
    floor (39879.5)     		tx = 39879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635612487792969 × 216)
    floor (0.635612487792969 × 65536)
    floor (41655.5)     		ty = 41655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39879 / 41655 ti = "16/39879/41655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39879/41655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39879 ÷ 216
    39879 ÷ 65536     		x = 0.608505249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41655 ÷ 216
    41655 ÷ 65536     		y = 0.635604858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608505249023438 × 2 - 1) × π
    0.217010498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68175859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635604858398438 × 2 - 1) × π
    -0.271209716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.852030453846878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68175859} λ = 0.68175859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852030453846878))-π/2
    2×atan(0.426547966120845)-π/2
    2×0.403181057718697-π/2
    0.806362115437394-1.57079632675     		φ = -0.76443421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68175859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.061890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76443421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.798854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39879 KachelY 41655 0.68175859 -0.76443421 39.061890 -43.798854
    Oben rechts KachelX + 1 39880 KachelY 41655 0.68185446 -0.76443421 39.067383 -43.798854
    Unten links KachelX 39879 KachelY + 1 41656 0.68175859 -0.76450341 39.061890 -43.802819
    Unten rechts KachelX + 1 39880 KachelY + 1 41656 0.68185446 -0.76450341 39.067383 -43.802819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76443421--0.76450341) × R
    6.91999999999915e-05 × 6371000     		dl = 440.873199999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76443421--0.76450341) × R
    6.91999999999915e-05 × 6371000     		dr = 440.873199999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68175859-0.68185446) × cos(-0.76443421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721774072460265 × 6371000     		do = 440.850776161814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68175859-0.68185446) × cos(-0.76450341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721726175423558 × 6371000     		du = 440.821521237574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76443421)-sin(-0.76450341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721774072460265-0.721726175423558)×R²
    abs(0.68185446-0.68175859)×4.78970367073783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78970367073783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78970367073783e-05×40589641000000     		ar = 194352.84363079m²