Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39878 / 41526
↖ ↑ ↗
← S 43.285204°
E 39.056396°		 ← 444.67 m → S 43.285204°
E 39.061890°		 →
↑
444.57 m
↓
↑
444.57 m
↓
S 43.289202°
E 39.056396°		 ← 444.64 m →
197 679 m²		 S 43.289202°
E 39.061890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608497619628906 y=0.633644104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608497619628906 × 216)
    floor (0.608497619628906 × 65536)
    floor (39878.5)     		tx = 39878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633644104003906 × 216)
    floor (0.633644104003906 × 65536)
    floor (41526.5)     		ty = 41526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39878 / 41526 ti = "16/39878/41526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39878/41526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39878 ÷ 216
    39878 ÷ 65536     		x = 0.608489990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41526 ÷ 216
    41526 ÷ 65536     		y = 0.633636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608489990234375 × 2 - 1) × π
    0.21697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68166271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.26727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.839662733744904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68166271} λ = 0.68166271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839662733744904))-π/2
    2×atan(0.431856149376581)-π/2
    2×0.407663505534825-π/2
    0.815327011069651-1.57079632675     		φ = -0.75546932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68166271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.056396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75546932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.285204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39878 KachelY 41526 0.68166271 -0.75546932 39.056396 -43.285204
    Oben rechts KachelX + 1 39879 KachelY 41526 0.68175859 -0.75546932 39.061890 -43.285204
    Unten links KachelX 39878 KachelY + 1 41527 0.68166271 -0.75553910 39.056396 -43.289202
    Unten rechts KachelX + 1 39879 KachelY + 1 41527 0.68175859 -0.75553910 39.061890 -43.289202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75546932--0.75553910) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dl = 444.568380000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75546932--0.75553910) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dr = 444.568380000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68166271-0.68175859) × cos(-0.75546932) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727949843311517 × 6371000     		do = 444.669239152831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68166271-0.68175859) × cos(-0.75553910) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727901998250966 × 6371000     		du = 444.640012926783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75546932)-sin(-0.75553910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727949843311517-0.727901998250966)×R²
    abs(0.68175859-0.68166271)×4.78450605508884e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78450605508884e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78450605508884e-05×40589641000000     		ar = 197679.386838274m²