Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39877 / 41669
↖ ↑ ↗
← S 43.854336°
E 39.050903°		 ← 440.44 m → S 43.854336°
E 39.056396°		 →
↑
440.43 m
↓
↑
440.43 m
↓
S 43.858297°
E 39.050903°		 ← 440.41 m →
193 976 m²		 S 43.858297°
E 39.056396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608482360839844 y=0.635826110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608482360839844 × 216)
    floor (0.608482360839844 × 65536)
    floor (39877.5)     		tx = 39877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635826110839844 × 216)
    floor (0.635826110839844 × 65536)
    floor (41669.5)     		ty = 41669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39877 / 41669 ti = "16/39877/41669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39877/41669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39877 ÷ 216
    39877 ÷ 65536     		x = 0.608474731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41669 ÷ 216
    41669 ÷ 65536     		y = 0.635818481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608474731445312 × 2 - 1) × π
    0.216949462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68156684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635818481445312 × 2 - 1) × π
    -0.271636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85337268703624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68156684} λ = 0.68156684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85337268703624))-π/2
    2×atan(0.425975823344272)-π/2
    2×0.402696888168541-π/2
    0.805393776337082-1.57079632675     		φ = -0.76540255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68156684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.050903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76540255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.854336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39877 KachelY 41669 0.68156684 -0.76540255 39.050903 -43.854336
    Oben rechts KachelX + 1 39878 KachelY 41669 0.68166271 -0.76540255 39.056396 -43.854336
    Unten links KachelX 39877 KachelY + 1 41670 0.68156684 -0.76547168 39.050903 -43.858297
    Unten rechts KachelX + 1 39878 KachelY + 1 41670 0.68166271 -0.76547168 39.056396 -43.858297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76540255--0.76547168) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dl = 440.427229999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76540255--0.76547168) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dr = 440.427229999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68156684-0.68166271) × cos(-0.76540255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721103518226621 × 6371000     		do = 440.441209836782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68156684-0.68166271) × cos(-0.76547168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		du = 440.411955010282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76540255)-sin(-0.76547168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721103518226621-0.721055621349935)×R²
    abs(0.68166271-0.68156684)×4.78968766856047e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78968766856047e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78968766856047e-05×40589641000000     		ar = 193975.859792462m²