Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39876 / 41503
↖ ↑ ↗
← S 43.193163°
E 39.045410°		 ← 445.34 m → S 43.193163°
E 39.050903°		 →
↑
445.33 m
↓
↑
445.33 m
↓
S 43.197167°
E 39.045410°		 ← 445.31 m →
198 319 m²		 S 43.197167°
E 39.050903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608467102050781 y=0.633293151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608467102050781 × 216)
    floor (0.608467102050781 × 65536)
    floor (39876.5)     		tx = 39876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633293151855469 × 216)
    floor (0.633293151855469 × 65536)
    floor (41503.5)     		ty = 41503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39876 / 41503 ti = "16/39876/41503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39876/41503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39876 ÷ 216
    39876 ÷ 65536     		x = 0.60845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41503 ÷ 216
    41503 ÷ 65536     		y = 0.633285522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68147096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.266571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.837457636362381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68147096} λ = 0.68147096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837457636362381))-π/2
    2×atan(0.432809484953795)-π/2
    2×0.408466712363922-π/2
    0.816933424727844-1.57079632675     		φ = -0.75386290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68147096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75386290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.193163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39876 KachelY 41503 0.68147096 -0.75386290 39.045410 -43.193163
    Oben rechts KachelX + 1 39877 KachelY 41503 0.68156684 -0.75386290 39.050903 -43.193163
    Unten links KachelX 39876 KachelY + 1 41504 0.68147096 -0.75393280 39.045410 -43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 39877 KachelY + 1 41504 0.68156684 -0.75393280 39.050903 -43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75386290--0.75393280) × R
    6.98999999999561e-05 × 6371000     		dl = 445.33289999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75386290--0.75393280) × R
    6.98999999999561e-05 × 6371000     		dr = 445.33289999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68147096-0.68156684) × cos(-0.75386290) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.729050313933697 × 6371000     		do = 445.341463261087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68147096-0.68156684) × cos(-0.75393280) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 445.312236740579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75386290)-sin(-0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729050313933697-0.729002468391097)×R²
    abs(0.68156684-0.68147096)×4.78455425996227e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78455425996227e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78455425996227e-05×40589641000000     		ar = 198318.697639189m²