Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39875 / 41670
↖ ↑ ↗
← S 43.858297°
E 39.039917°		 ← 440.41 m → S 43.858297°
E 39.045410°		 →
↑
440.43 m
↓
↑
440.43 m
↓
S 43.862257°
E 39.039917°		 ← 440.38 m →
193 963 m²		 S 43.862257°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608451843261719 y=0.635841369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608451843261719 × 216)
    floor (0.608451843261719 × 65536)
    floor (39875.5)     		tx = 39875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635841369628906 × 216)
    floor (0.635841369628906 × 65536)
    floor (41670.5)     		ty = 41670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39875 / 41670 ti = "16/39875/41670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39875/41670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39875 ÷ 216
    39875 ÷ 65536     		x = 0.608444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41670 ÷ 216
    41670 ÷ 65536     		y = 0.635833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608444213867188 × 2 - 1) × π
    0.216888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68137509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68137509} λ = 0.68137509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85346856083548))-π/2
    2×atan(0.42593498538138)-π/2
    2×0.402662321849644-π/2
    0.805324643699288-1.57079632675     		φ = -0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68137509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.039917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39875 KachelY 41670 0.68137509 -0.76547168 39.039917 -43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 39876 KachelY 41670 0.68147096 -0.76547168 39.045410 -43.858297
    Unten links KachelX 39875 KachelY + 1 41671 0.68137509 -0.76554081 39.039917 -43.862257
    Unten rechts KachelX + 1 39876 KachelY + 1 41671 0.68147096 -0.76554081 39.045410 -43.862257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76547168--0.76554081) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dl = 440.427229999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76547168--0.76554081) × R
    6.91299999999728e-05 × 6371000     		dr = 440.427229999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.76547168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 440.411955010282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.76554081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721007721027356 × 6371000     		du = 440.382698079071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76547168)-sin(-0.76554081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.721007721027356)×R²
    abs(0.68147096-0.68137509)×4.79003225792862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79003225792862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79003225792862e-05×40589641000000     		ar = 193962.974706829m²