Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39875 / 41656
↖ ↑ ↗
← S 43.802819°
E 39.039917°		 ← 440.82 m → S 43.802819°
E 39.045410°		 →
↑
440.81 m
↓
↑
440.81 m
↓
S 43.806783°
E 39.039917°		 ← 440.79 m →
194 312 m²		 S 43.806783°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608451843261719 y=0.635627746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608451843261719 × 216)
    floor (0.608451843261719 × 65536)
    floor (39875.5)     		tx = 39875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635627746582031 × 216)
    floor (0.635627746582031 × 65536)
    floor (41656.5)     		ty = 41656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39875 / 41656 ti = "16/39875/41656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39875/41656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39875 ÷ 216
    39875 ÷ 65536     		x = 0.608444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41656 ÷ 216
    41656 ÷ 65536     		y = 0.6356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608444213867188 × 2 - 1) × π
    0.216888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68137509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.271240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852126327646118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68137509} λ = 0.68137509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852126327646118))-π/2
    2×atan(0.426507073307081)-π/2
    2×0.403146459255448-π/2
    0.806292918510896-1.57079632675     		φ = -0.76450341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68137509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.039917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76450341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.802819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39875 KachelY 41656 0.68137509 -0.76450341 39.039917 -43.802819
    Oben rechts KachelX + 1 39876 KachelY 41656 0.68147096 -0.76450341 39.045410 -43.802819
    Unten links KachelX 39875 KachelY + 1 41657 0.68137509 -0.76457260 39.039917 -43.806783
    Unten rechts KachelX + 1 39876 KachelY + 1 41657 0.68147096 -0.76457260 39.045410 -43.806783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76450341--0.76457260) × R
    6.91900000000523e-05 × 6371000     		dl = 440.809490000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76450341--0.76457260) × R
    6.91900000000523e-05 × 6371000     		dr = 440.809490000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.76450341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721726175423558 × 6371000     		do = 440.821521237574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.76457260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72167828185305 × 6371000     		du = 440.792268430446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76450341)-sin(-0.76457260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721726175423558-0.72167828185305)×R²
    abs(0.68147096-0.68137509)×4.78935705080508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78935705080508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78935705080508e-05×40589641000000     		ar = 194311.862577596m²