Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39875 / 41509
↖ ↑ ↗
← S 43.217187°
E 39.039917°		 ← 445.12 m → S 43.217187°
E 39.045410°		 →
↑
445.14 m
↓
↑
445.14 m
↓
S 43.221190°
E 39.039917°		 ← 445.09 m →
198 135 m²		 S 43.221190°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608451843261719 y=0.633384704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608451843261719 × 216)
    floor (0.608451843261719 × 65536)
    floor (39875.5)     		tx = 39875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633384704589844 × 216)
    floor (0.633384704589844 × 65536)
    floor (41509.5)     		ty = 41509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39875 / 41509 ti = "16/39875/41509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39875/41509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39875 ÷ 216
    39875 ÷ 65536     		x = 0.608444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41509 ÷ 216
    41509 ÷ 65536     		y = 0.633377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608444213867188 × 2 - 1) × π
    0.216888427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68137509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633377075195312 × 2 - 1) × π
    -0.266754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.838032879157822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68137509} λ = 0.68137509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838032879157822))-π/2
    2×atan(0.432560586011302)-π/2
    2×0.408257063175546-π/2
    0.816514126351092-1.57079632675     		φ = -0.75428220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68137509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.039917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75428220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.217187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39875 KachelY 41509 0.68137509 -0.75428220 39.039917 -43.217187
    Oben rechts KachelX + 1 39876 KachelY 41509 0.68147096 -0.75428220 39.045410 -43.217187
    Unten links KachelX 39875 KachelY + 1 41510 0.68137509 -0.75435207 39.039917 -43.221190
    Unten rechts KachelX + 1 39876 KachelY + 1 41510 0.68147096 -0.75435207 39.045410 -43.221190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75428220--0.75435207) × R
    6.98700000000274e-05 × 6371000     		dl = 445.141770000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75428220--0.75435207) × R
    6.98700000000274e-05 × 6371000     		dr = 445.141770000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.75428220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728763255730653 × 6371000     		do = 445.119683825655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68137509-0.68147096) × cos(-0.75435207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728715409369674 × 6371000     		du = 445.090459853531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75428220)-sin(-0.75435207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728763255730653-0.728715409369674)×R²
    abs(0.68147096-0.68137509)×4.78463609786539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78463609786539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78463609786539e-05×40589641000000     		ar = 198134.859595121m²