Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39874 / 41650
↖ ↑ ↗
← S 43.779027°
E 39.034424°		 ← 441 m → S 43.779027°
E 39.039917°		 →
↑
441 m
↓
↑
441 m
↓
S 43.782993°
E 39.034424°		 ← 440.97 m →
194 474 m²		 S 43.782993°
E 39.039917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608436584472656 y=0.635536193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608436584472656 × 216)
    floor (0.608436584472656 × 65536)
    floor (39874.5)     		tx = 39874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635536193847656 × 216)
    floor (0.635536193847656 × 65536)
    floor (41650.5)     		ty = 41650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39874 / 41650 ti = "16/39874/41650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39874/41650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39874 ÷ 216
    39874 ÷ 65536     		x = 0.608428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41650 ÷ 216
    41650 ÷ 65536     		y = 0.635528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608428955078125 × 2 - 1) × π
    0.21685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68127922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68127922} λ = 0.68127922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851551084850678))-π/2
    2×atan(0.426752489008245)-π/2
    2×0.403354084473578-π/2
    0.806708168947155-1.57079632675     		φ = -0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68127922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.034424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39874 KachelY 41650 0.68127922 -0.76408816 39.034424 -43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 39875 KachelY 41650 0.68137509 -0.76408816 39.039917 -43.779027
    Unten links KachelX 39874 KachelY + 1 41651 0.68127922 -0.76415738 39.034424 -43.782993
    Unten rechts KachelX + 1 39875 KachelY + 1 41651 0.68137509 -0.76415738 39.039917 -43.782993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76408816--0.76415738) × R
    6.9219999999981e-05 × 6371000     		dl = 441.000619999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76408816--0.76415738) × R
    6.9219999999981e-05 × 6371000     		dr = 441.000619999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68127922-0.68137509) × cos(-0.76408816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 440.997040243638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68127922-0.68137509) × cos(-0.76415738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721965646799507 × 6371000     		du = 440.967787425269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76408816)-sin(-0.76415738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.721965646799507)×R²
    abs(0.68137509-0.68127922)×4.7893588912995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7893588912995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7893588912995e-05×40589641000000     		ar = 194473.517987584m²