Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39874 / 41642
↖ ↑ ↗
← S 43.747289°
E 39.034424°		 ← 441.23 m → S 43.747289°
E 39.039917°		 →
↑
441.26 m
↓
↑
441.26 m
↓
S 43.751257°
E 39.034424°		 ← 441.20 m →
194 689 m²		 S 43.751257°
E 39.039917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608436584472656 y=0.635414123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608436584472656 × 216)
    floor (0.608436584472656 × 65536)
    floor (39874.5)     		tx = 39874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635414123535156 × 216)
    floor (0.635414123535156 × 65536)
    floor (41642.5)     		ty = 41642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39874 / 41642 ti = "16/39874/41642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39874/41642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39874 ÷ 216
    39874 ÷ 65536     		x = 0.608428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41642 ÷ 216
    41642 ÷ 65536     		y = 0.635406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608428955078125 × 2 - 1) × π
    0.21685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68127922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.27081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.850784094456757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68127922} λ = 0.68127922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850784094456757))-π/2
    2×atan(0.427079929623747)-π/2
    2×0.403631046665371-π/2
    0.807262093330741-1.57079632675     		φ = -0.76353423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68127922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.034424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76353423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.747289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39874 KachelY 41642 0.68127922 -0.76353423 39.034424 -43.747289
    Oben rechts KachelX + 1 39875 KachelY 41642 0.68137509 -0.76353423 39.039917 -43.747289
    Unten links KachelX 39874 KachelY + 1 41643 0.68127922 -0.76360349 39.034424 -43.751257
    Unten rechts KachelX + 1 39875 KachelY + 1 41643 0.68137509 -0.76360349 39.039917 -43.751257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76353423--0.76360349) × R
    6.92600000000709e-05 × 6371000     		dl = 441.255460000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76353423--0.76360349) × R
    6.92600000000709e-05 × 6371000     		dr = 441.255460000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68127922-0.68137509) × cos(-0.76353423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722396682091248 × 6371000     		do = 441.231058509903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68127922-0.68137509) × cos(-0.76360349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722348788531797 × 6371000     		du = 441.201805709528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76353423)-sin(-0.76360349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722396682091248-0.722348788531797)×R²
    abs(0.68137509-0.68127922)×4.78935594503405e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78935594503405e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78935594503405e-05×40589641000000     		ar = 194689.1597882m²