Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39873 / 41649
↖ ↑ ↗
← S 43.775060°
E 39.028930°		 ← 441.07 m → S 43.775060°
E 39.034424°		 →
↑
441.06 m
↓
↑
441.06 m
↓
S 43.779027°
E 39.028930°		 ← 441.04 m →
194 535 m²		 S 43.779027°
E 39.034424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608421325683594 y=0.635520935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608421325683594 × 216)
    floor (0.608421325683594 × 65536)
    floor (39873.5)     		tx = 39873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635520935058594 × 216)
    floor (0.635520935058594 × 65536)
    floor (41649.5)     		ty = 41649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39873 / 41649 ti = "16/39873/41649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39873/41649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39873 ÷ 216
    39873 ÷ 65536     		x = 0.608413696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41649 ÷ 216
    41649 ÷ 65536     		y = 0.635513305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608413696289062 × 2 - 1) × π
    0.216827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68118334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635513305664062 × 2 - 1) × π
    -0.271026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.851455211051437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68118334} λ = 0.68118334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851455211051437))-π/2
    2×atan(0.426793405352072)-π/2
    2×0.403388696712186-π/2
    0.806777393424373-1.57079632675     		φ = -0.76401893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68118334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.028930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76401893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.775060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39873 KachelY 41649 0.68118334 -0.76401893 39.028930 -43.775060
    Oben rechts KachelX + 1 39874 KachelY 41649 0.68127922 -0.76401893 39.034424 -43.775060
    Unten links KachelX 39873 KachelY + 1 41650 0.68118334 -0.76408816 39.028930 -43.779027
    Unten rechts KachelX + 1 39874 KachelY + 1 41650 0.68127922 -0.76408816 39.034424 -43.779027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76401893--0.76408816) × R
    6.92300000000312e-05 × 6371000     		dl = 441.064330000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76401893--0.76408816) × R
    6.92300000000312e-05 × 6371000     		dr = 441.064330000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68118334-0.68127922) × cos(-0.76401893) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.722061437436161 × 6371000     		do = 441.072297708517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68118334-0.68127922) × cos(-0.76408816) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.72201354038842 × 6371000     		du = 441.043039726017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76401893)-sin(-0.76408816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722061437436161-0.72201354038842)×R²
    abs(0.68127922-0.68118334)×4.78970477406637e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78970477406637e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78970477406637e-05×40589641000000     		ar = 194534.805221851m²