Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39873 / 41531
↖ ↑ ↗
← S 43.305194°
E 39.028930°		 ← 444.52 m → S 43.305194°
E 39.034424°		 →
↑
444.50 m
↓
↑
444.50 m
↓
S 43.309191°
E 39.028930°		 ← 444.49 m →
197 586 m²		 S 43.309191°
E 39.034424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608421325683594 y=0.633720397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608421325683594 × 216)
    floor (0.608421325683594 × 65536)
    floor (39873.5)     		tx = 39873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633720397949219 × 216)
    floor (0.633720397949219 × 65536)
    floor (41531.5)     		ty = 41531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39873 / 41531 ti = "16/39873/41531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39873/41531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39873 ÷ 216
    39873 ÷ 65536     		x = 0.608413696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41531 ÷ 216
    41531 ÷ 65536     		y = 0.633712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608413696289062 × 2 - 1) × π
    0.216827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68118334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633712768554688 × 2 - 1) × π
    -0.267425537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.840142102741104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68118334} λ = 0.68118334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840142102741104))-π/2
    2×atan(0.431649180538937)-π/2
    2×0.407489055914571-π/2
    0.814978111829142-1.57079632675     		φ = -0.75581821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68118334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.028930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75581821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.305194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39873 KachelY 41531 0.68118334 -0.75581821 39.028930 -43.305194
    Oben rechts KachelX + 1 39874 KachelY 41531 0.68127922 -0.75581821 39.034424 -43.305194
    Unten links KachelX 39873 KachelY + 1 41532 0.68118334 -0.75588798 39.028930 -43.309191
    Unten rechts KachelX + 1 39874 KachelY + 1 41532 0.68127922 -0.75588798 39.034424 -43.309191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75581821--0.75588798) × R
    6.9769999999969e-05 × 6371000     		dl = 444.504669999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75581821--0.75588798) × R
    6.9769999999969e-05 × 6371000     		dr = 444.504669999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68118334-0.68127922) × cos(-0.75581821) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.727710589426579 × 6371000     		do = 444.523090562607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68118334-0.68127922) × cos(-0.75588798) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.727662733506539 × 6371000     		du = 444.493857703023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75581821)-sin(-0.75588798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727710589426579-0.727662733506539)×R²
    abs(0.68127922-0.68118334)×4.78559200403073e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78559200403073e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78559200403073e-05×40589641000000     		ar = 197586.092686697m²