Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39872 / 19390
↖ ↑ ↗
← N 77.505308°
W 70.488281°		 ← 66.08 m → N 77.505308°
W 70.485534°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.504714°
W 70.488281°		 ← 66.08 m →
4 366 m²		 N 77.504714°
W 70.485534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304203033447266 y=0.147937774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304203033447266 × 217)
    floor (0.304203033447266 × 131072)
    floor (39872.5)     		tx = 39872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147937774658203 × 217)
    floor (0.147937774658203 × 131072)
    floor (19390.5)     		ty = 19390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39872 / 19390 ti = "17/39872/19390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39872/19390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39872 ÷ 217
    39872 ÷ 131072     		x = 0.30419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19390 ÷ 217
    19390 ÷ 131072     		y = 0.147933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147933959960938 × 2 - 1) × π
    0.704132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21209616986711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23025259} λ = -1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21209616986711))-π/2
    2×atan(9.13484452396239)-π/2
    2×1.46175956675684-π/2
    2.92351913351369-1.57079632675     		φ = 1.35272281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35272281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.505308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39872 KachelY 19390 -1.23025259 1.35272281 -70.488281 77.505308
    Oben rechts KachelX + 1 39873 KachelY 19390 -1.23020465 1.35272281 -70.485534 77.505308
    Unten links KachelX 39872 KachelY + 1 19391 -1.23025259 1.35271244 -70.488281 77.504714
    Unten rechts KachelX + 1 39873 KachelY + 1 19391 -1.23020465 1.35271244 -70.485534 77.504714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35272281-1.35271244) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dl = 66.0672700002376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35272281-1.35271244) × R
    1.03700000000373e-05 × 6371000     		dr = 66.0672700002376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23025259--1.23020465) × cos(1.35272281) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.216349169235976 × 6371000     		do = 66.078605112546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23025259--1.23020465) × cos(1.35271244) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.216359293621822 × 6371000     		du = 66.0816973605849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35272281)-sin(1.35271244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216349169235976-0.216359293621822)×R²
    abs(-1.23020465--1.23025259)×1.01243858453282e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.01243858453282e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.01243858453282e-05×40589641000000     		ar = 4365.73519348716m²