Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39871 / 41645
↖ ↑ ↗
← S 43.759193°
E 39.017945°		 ← 441.14 m → S 43.759193°
E 39.023438°		 →
↑
441.13 m
↓
↑
441.13 m
↓
S 43.763160°
E 39.017945°		 ← 441.11 m →
194 594 m²		 S 43.763160°
E 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608390808105469 y=0.635459899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608390808105469 × 216)
    floor (0.608390808105469 × 65536)
    floor (39871.5)     		tx = 39871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635459899902344 × 216)
    floor (0.635459899902344 × 65536)
    floor (41645.5)     		ty = 41645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39871 / 41645 ti = "16/39871/41645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39871/41645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39871 ÷ 216
    39871 ÷ 65536     		x = 0.608383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41645 ÷ 216
    41645 ÷ 65536     		y = 0.635452270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608383178710938 × 2 - 1) × π
    0.216766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68099160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635452270507812 × 2 - 1) × π
    -0.270904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.851071715854477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68099160} λ = 0.68099160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851071715854477))-π/2
    2×atan(0.426957109961079)-π/2
    2×0.403527168624945-π/2
    0.807054337249891-1.57079632675     		φ = -0.76374199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68099160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.017945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76374199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.759193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39871 KachelY 41645 0.68099160 -0.76374199 39.017945 -43.759193
    Oben rechts KachelX + 1 39872 KachelY 41645 0.68108747 -0.76374199 39.023438 -43.759193
    Unten links KachelX 39871 KachelY + 1 41646 0.68099160 -0.76381123 39.017945 -43.763160
    Unten rechts KachelX + 1 39872 KachelY + 1 41646 0.68108747 -0.76381123 39.023438 -43.763160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76374199--0.76381123) × R
    6.92399999999704e-05 × 6371000     		dl = 441.128039999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76374199--0.76381123) × R
    6.92399999999704e-05 × 6371000     		dr = 441.128039999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68099160-0.68108747) × cos(-0.76374199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722253004850498 × 6371000     		do = 441.143302208425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68099160-0.68108747) × cos(-0.76381123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		du = 441.114051509198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76374199)-sin(-0.76381123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722253004850498-0.722205114731109)×R²
    abs(0.68108747-0.68099160)×4.78901193892156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78901193892156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78901193892156e-05×40589641000000     		ar = 194594.22868799m²