Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39871 / 19391
↖ ↑ ↗
← N 77.504714°
W 70.491028°		 ← 66.08 m → N 77.504714°
W 70.488281°		 →
↑
66.13 m
↓
↑
66.13 m
↓
N 77.504119°
W 70.491028°		 ← 66.08 m →
4 370 m²		 N 77.504119°
W 70.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304195404052734 y=0.147945404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304195404052734 × 217)
    floor (0.304195404052734 × 131072)
    floor (39871.5)     		tx = 39871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147945404052734 × 217)
    floor (0.147945404052734 × 131072)
    floor (19391.5)     		ty = 19391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39871 / 19391 ti = "17/39871/19391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39871/19391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39871 ÷ 217
    39871 ÷ 131072     		x = 0.304191589355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19391 ÷ 217
    19391 ÷ 131072     		y = 0.147941589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304191589355469 × 2 - 1) × π
    -0.391616821289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.23030053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147941589355469 × 2 - 1) × π
    0.704116821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.21204823296749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23030053} λ = -1.23030053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21204823296749))-π/2
    2×atan(9.13440663833292)-π/2
    2×1.46175438108121-π/2
    2.92350876216243-1.57079632675     		φ = 1.35271244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23030053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35271244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.504714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39871 KachelY 19391 -1.23030053 1.35271244 -70.491028 77.504714
    Oben rechts KachelX + 1 39872 KachelY 19391 -1.23025259 1.35271244 -70.488281 77.504714
    Unten links KachelX 39871 KachelY + 1 19392 -1.23030053 1.35270206 -70.491028 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 39872 KachelY + 1 19392 -1.23025259 1.35270206 -70.488281 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35271244-1.35270206) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dl = 66.1309799998504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35271244-1.35270206) × R
    1.03799999999765e-05 × 6371000     		dr = 66.1309799998504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23030053--1.23025259) × cos(1.35271244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216359293621822 × 6371000     		do = 66.0816973602788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23030053--1.23025259) × cos(1.35270206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 66.0847925831183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35271244)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216359293621822-0.216369427747516)×R²
    abs(-1.23025259--1.23030053)×1.01341256943388e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01341256943388e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01341256943388e-05×40589641000000     		ar = 4370.14975149953m²