Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3987 / 2705
↖ ↑ ↗
← N 76.095517°
W 92.395019°		 ← 587.11 m → N 76.095517°
W 92.373047°		 →
↑
587.28 m
↓
↑
587.28 m
↓
N 76.090236°
W 92.395019°		 ← 587.33 m →
344 864 m²		 N 76.090236°
W 92.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243377685546875 y=0.165130615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243377685546875 × 214)
    floor (0.243377685546875 × 16384)
    floor (3987.5)     		tx = 3987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165130615234375 × 214)
    floor (0.165130615234375 × 16384)
    floor (2705.5)     		ty = 2705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3987 / 2705 ti = "14/3987/2705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3987/2705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3987 ÷ 214
    3987 ÷ 16384     		x = 0.24334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2705 ÷ 214
    2705 ÷ 16384     		y = 0.16510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61259730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    0.6697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10423814572198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61259730} λ = -1.61259730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10423814572198))-π/2
    2×atan(8.20085277424442)-π/2
    2×1.44945682163543-π/2
    2.89891364327087-1.57079632675     		φ = 1.32811732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61259730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.395019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32811732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.095517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3987 KachelY 2705 -1.61259730 1.32811732 -92.395019 76.095517
    Oben rechts KachelX + 1 3988 KachelY 2705 -1.61221381 1.32811732 -92.373047 76.095517
    Unten links KachelX 3987 KachelY + 1 2706 -1.61259730 1.32802514 -92.395019 76.090236
    Unten rechts KachelX + 1 3988 KachelY + 1 2706 -1.61221381 1.32802514 -92.373047 76.090236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32811732-1.32802514) × R
    9.21799999999973e-05 × 6371000     		dl = 587.278779999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32811732-1.32802514) × R
    9.21799999999973e-05 × 6371000     		dr = 587.278779999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61259730--1.61221381) × cos(1.32811732) × R
    0.000383489999999931 × 0.240303991344617 × 6371000     		do = 587.114265749094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61259730--1.61221381) × cos(1.32802514) × R
    0.000383489999999931 × 0.240393469235958 × 6371000     		du = 587.332879456596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32811732)-sin(1.32802514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240303991344617-0.240393469235958)×R²
    abs(-1.61221381--1.61259730)×8.94778913405891e-05×R²
    0.000383489999999931×8.94778913405891e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.94778913405891e-05×40589641000000     		ar = 344863.943549358m²