Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39868 / 41647
↖ ↑ ↗
← S 43.767127°
E 39.001465°		 ← 441.13 m → S 43.767127°
E 39.006958°		 →
↑
441.06 m
↓
↑
441.06 m
↓
S 43.771094°
E 39.001465°		 ← 441.10 m →
194 561 m²		 S 43.771094°
E 39.006958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608345031738281 y=0.635490417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608345031738281 × 216)
    floor (0.608345031738281 × 65536)
    floor (39868.5)     		tx = 39868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635490417480469 × 216)
    floor (0.635490417480469 × 65536)
    floor (41647.5)     		ty = 41647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39868 / 41647 ti = "16/39868/41647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39868/41647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39868 ÷ 216
    39868 ÷ 65536     		x = 0.60833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41647 ÷ 216
    41647 ÷ 65536     		y = 0.635482788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60833740234375 × 2 - 1) × π
    0.2166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68070397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635482788085938 × 2 - 1) × π
    -0.270965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.851263463452957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68070397} λ = 0.68070397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851263463452957))-π/2
    2×atan(0.426875249809084)-π/2
    2×0.403457928076928-π/2
    0.806915856153857-1.57079632675     		φ = -0.76388047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68070397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76388047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.767127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39868 KachelY 41647 0.68070397 -0.76388047 39.001465 -43.767127
    Oben rechts KachelX + 1 39869 KachelY 41647 0.68079985 -0.76388047 39.006958 -43.767127
    Unten links KachelX 39868 KachelY + 1 41648 0.68070397 -0.76394970 39.001465 -43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 39869 KachelY + 1 41648 0.68079985 -0.76394970 39.006958 -43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76388047--0.76394970) × R
    6.92299999999202e-05 × 6371000     		dl = 441.064329999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76388047--0.76394970) × R
    6.92299999999202e-05 × 6371000     		dr = 441.064329999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68070397-0.68079985) × cos(-0.76388047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.72215722114934 × 6371000     		do = 441.130807331472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68070397-0.68079985) × cos(-0.76394970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 441.101553577049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76388047)-sin(-0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72215722114934-0.722109331023211)×R²
    abs(0.68079985-0.68070397)×4.78901261292686e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78901261292686e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78901261292686e-05×40589641000000     		ar = 194560.61266182m²