Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39865 / 41543
↖ ↑ ↗
← S 43.353144°
E 38.984985°		 ← 444.17 m → S 43.353144°
E 38.990479°		 →
↑
444.12 m
↓
↑
444.12 m
↓
S 43.357138°
E 38.984985°		 ← 444.14 m →
197 260 m²		 S 43.357138°
E 38.990479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608299255371094 y=0.633903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608299255371094 × 216)
    floor (0.608299255371094 × 65536)
    floor (39865.5)     		tx = 39865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633903503417969 × 216)
    floor (0.633903503417969 × 65536)
    floor (41543.5)     		ty = 41543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39865 / 41543 ti = "16/39865/41543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39865/41543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39865 ÷ 216
    39865 ÷ 65536     		x = 0.608291625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41543 ÷ 216
    41543 ÷ 65536     		y = 0.633895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608291625976562 × 2 - 1) × π
    0.216583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68041635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633895874023438 × 2 - 1) × π
    -0.267791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.841292588331986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68041635} λ = 0.68041635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841292588331986))-π/2
    2×atan(0.431152859936007)-π/2
    2×0.407070610810906-π/2
    0.814141221621812-1.57079632675     		φ = -0.75665511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68041635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.984985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75665511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.353144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39865 KachelY 41543 0.68041635 -0.75665511 38.984985 -43.353144
    Oben rechts KachelX + 1 39866 KachelY 41543 0.68051223 -0.75665511 38.990479 -43.353144
    Unten links KachelX 39865 KachelY + 1 41544 0.68041635 -0.75672482 38.984985 -43.357138
    Unten rechts KachelX + 1 39866 KachelY + 1 41544 0.68051223 -0.75672482 38.990479 -43.357138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75665511--0.75672482) × R
    6.97100000000006e-05 × 6371000     		dl = 444.122410000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75665511--0.75672482) × R
    6.97100000000006e-05 × 6371000     		dr = 444.122410000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68041635-0.68051223) × cos(-0.75665511) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727136318062814 × 6371000     		do = 444.172296050644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68041635-0.68051223) × cos(-0.75672482) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727088460862169 × 6371000     		du = 444.143062408801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75665511)-sin(-0.75672482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727136318062814-0.727088460862169)×R²
    abs(0.68051223-0.68041635)×4.78572006451516e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78572006451516e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78572006451516e-05×40589641000000     		ar = 197260.37899964m²