Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39862 / 41679
↖ ↑ ↗
← S 43.893934°
E 38.968506°		 ← 440.19 m → S 43.893934°
E 38.973999°		 →
↑
440.17 m
↓
↑
440.17 m
↓
S 43.897893°
E 38.968506°		 ← 440.17 m →
193 755 m²		 S 43.897893°
E 38.973999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608253479003906 y=0.635978698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608253479003906 × 216)
    floor (0.608253479003906 × 65536)
    floor (39862.5)     		tx = 39862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635978698730469 × 216)
    floor (0.635978698730469 × 65536)
    floor (41679.5)     		ty = 41679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39862 / 41679 ti = "16/39862/41679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39862/41679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39862 ÷ 216
    39862 ÷ 65536     		x = 0.608245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41679 ÷ 216
    41679 ÷ 65536     		y = 0.635971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608245849609375 × 2 - 1) × π
    0.21649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68012873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635971069335938 × 2 - 1) × π
    -0.271942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.854331425028641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68012873} λ = 0.68012873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854331425028641))-π/2
    2×atan(0.425567619849954)-π/2
    2×0.402351328306554-π/2
    0.804702656613109-1.57079632675     		φ = -0.76609367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68012873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.968506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76609367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.893934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39862 KachelY 41679 0.68012873 -0.76609367 38.968506 -43.893934
    Oben rechts KachelX + 1 39863 KachelY 41679 0.68022461 -0.76609367 38.973999 -43.893934
    Unten links KachelX 39862 KachelY + 1 41680 0.68012873 -0.76616276 38.968506 -43.897893
    Unten rechts KachelX + 1 39863 KachelY + 1 41680 0.68022461 -0.76616276 38.973999 -43.897893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76609367--0.76616276) × R
    6.90900000001049e-05 × 6371000     		dl = 440.172390000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76609367--0.76616276) × R
    6.90900000001049e-05 × 6371000     		dr = 440.172390000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68012873-0.68022461) × cos(-0.76609367) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720624519220628 × 6371000     		do = 440.19455409043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68012873-0.68022461) × cos(-0.76616276) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720576615639288 × 6371000     		du = 440.165292116871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76609367)-sin(-0.76616276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720624519220628-0.720576615639288)×R²
    abs(0.68022461-0.68012873)×4.79035813396589e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79035813396589e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79035813396589e-05×40589641000000     		ar = 193755.048859888m²