Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39862 / 41544
↖ ↑ ↗
← S 43.357138°
E 38.968506°		 ← 444.14 m → S 43.357138°
E 38.973999°		 →
↑
444.06 m
↓
↑
444.06 m
↓
S 43.361132°
E 38.968506°		 ← 444.11 m →
197 219 m²		 S 43.361132°
E 38.973999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608253479003906 y=0.633918762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608253479003906 × 216)
    floor (0.608253479003906 × 65536)
    floor (39862.5)     		tx = 39862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633918762207031 × 216)
    floor (0.633918762207031 × 65536)
    floor (41544.5)     		ty = 41544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39862 / 41544 ti = "16/39862/41544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39862/41544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39862 ÷ 216
    39862 ÷ 65536     		x = 0.608245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41544 ÷ 216
    41544 ÷ 65536     		y = 0.6339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608245849609375 × 2 - 1) × π
    0.21649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68012873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841388462131226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68012873} λ = 0.68012873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841388462131226))-π/2
    2×atan(0.43111152565474)-π/2
    2×0.407035755297136-π/2
    0.814071510594273-1.57079632675     		φ = -0.75672482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68012873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.968506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75672482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.357138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39862 KachelY 41544 0.68012873 -0.75672482 38.968506 -43.357138
    Oben rechts KachelX + 1 39863 KachelY 41544 0.68022461 -0.75672482 38.973999 -43.357138
    Unten links KachelX 39862 KachelY + 1 41545 0.68012873 -0.75679452 38.968506 -43.361132
    Unten rechts KachelX + 1 39863 KachelY + 1 41545 0.68022461 -0.75679452 38.973999 -43.361132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75672482--0.75679452) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dl = 444.058700000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75672482--0.75679452) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dr = 444.058700000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68012873-0.68022461) × cos(-0.75672482) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727088460862169 × 6371000     		do = 444.143062408801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68012873-0.68022461) × cos(-0.75679452) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727040606994194 × 6371000     		du = 444.113830802725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75672482)-sin(-0.75679452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727088460862169-0.727040606994194)×R²
    abs(0.68022461-0.68012873)×4.78538679753449e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78538679753449e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78538679753449e-05×40589641000000     		ar = 197219.100712788m²