Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39860 / 41682
↖ ↑ ↗
← S 43.905809°
E 38.957519°		 ← 440.11 m → S 43.905809°
E 38.963013°		 →
↑
440.04 m
↓
↑
440.04 m
↓
S 43.909766°
E 38.957519°		 ← 440.08 m →
193 660 m²		 S 43.909766°
E 38.963013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608222961425781 y=0.636024475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608222961425781 × 216)
    floor (0.608222961425781 × 65536)
    floor (39860.5)     		tx = 39860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636024475097656 × 216)
    floor (0.636024475097656 × 65536)
    floor (41682.5)     		ty = 41682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39860 / 41682 ti = "16/39860/41682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39860/41682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39860 ÷ 216
    39860 ÷ 65536     		x = 0.60821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41682 ÷ 216
    41682 ÷ 65536     		y = 0.636016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60821533203125 × 2 - 1) × π
    0.2164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67993698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.27203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854619046426361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67993698} λ = 0.67993698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854619046426361))-π/2
    2×atan(0.425445235097389)-π/2
    2×0.402247705123955-π/2
    0.80449541024791-1.57079632675     		φ = -0.76630092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67993698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.957519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76630092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.905809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39860 KachelY 41682 0.67993698 -0.76630092 38.957519 -43.905809
    Oben rechts KachelX + 1 39861 KachelY 41682 0.68003286 -0.76630092 38.963013 -43.905809
    Unten links KachelX 39860 KachelY + 1 41683 0.67993698 -0.76636999 38.957519 -43.909766
    Unten rechts KachelX + 1 39861 KachelY + 1 41683 0.68003286 -0.76636999 38.963013 -43.909766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76630092--0.76636999) × R
    6.90699999998934e-05 × 6371000     		dl = 440.044969999321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76630092--0.76636999) × R
    6.90699999998934e-05 × 6371000     		dr = 440.044969999321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67993698-0.68003286) × cos(-0.76630092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.720480812027473 × 6371000     		do = 440.106770338295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67993698-0.68003286) × cos(-0.76636999) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.720432911999446 × 6371000     		du = 440.077510535283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76630092)-sin(-0.76636999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720480812027473-0.720432911999446)×R²
    abs(0.68003286-0.67993698)×4.79000280271258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79000280271258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79000280271258e-05×40589641000000     		ar = 193660.33281257m²