Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39860 / 41493
↖ ↑ ↗
← S 43.153101°
E 38.957519°		 ← 445.63 m → S 43.153101°
E 38.963013°		 →
↑
445.59 m
↓
↑
445.59 m
↓
S 43.157109°
E 38.957519°		 ← 445.60 m →
198 562 m²		 S 43.157109°
E 38.963013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608222961425781 y=0.633140563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608222961425781 × 216)
    floor (0.608222961425781 × 65536)
    floor (39860.5)     		tx = 39860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633140563964844 × 216)
    floor (0.633140563964844 × 65536)
    floor (41493.5)     		ty = 41493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39860 / 41493 ti = "16/39860/41493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39860/41493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39860 ÷ 216
    39860 ÷ 65536     		x = 0.60821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41493 ÷ 216
    41493 ÷ 65536     		y = 0.633132934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60821533203125 × 2 - 1) × π
    0.2164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67993698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633132934570312 × 2 - 1) × π
    -0.266265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.83649889836998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67993698} λ = 0.67993698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83649889836998))-π/2
    2×atan(0.43322463482867)-π/2
    2×0.408816311145889-π/2
    0.817632622291777-1.57079632675     		φ = -0.75316370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67993698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.957519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75316370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.153101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39860 KachelY 41493 0.67993698 -0.75316370 38.957519 -43.153101
    Oben rechts KachelX + 1 39861 KachelY 41493 0.68003286 -0.75316370 38.963013 -43.153101
    Unten links KachelX 39860 KachelY + 1 41494 0.67993698 -0.75323364 38.957519 -43.157109
    Unten rechts KachelX + 1 39861 KachelY + 1 41494 0.68003286 -0.75323364 38.963013 -43.157109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75316370--0.75323364) × R
    6.99400000000461e-05 × 6371000     		dl = 445.587740000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75316370--0.75323364) × R
    6.99400000000461e-05 × 6371000     		dr = 445.587740000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67993698-0.68003286) × cos(-0.75316370) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.72952871019309 × 6371000     		do = 445.633692323648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67993698-0.68003286) × cos(-0.75323364) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729480872932629 × 6371000     		du = 445.604470862296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75316370)-sin(-0.75323364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72952871019309-0.729480872932629)×R²
    abs(0.68003286-0.67993698)×4.78372604607591e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78372604607591e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78372604607591e-05×40589641000000     		ar = 198562.399548791m²