Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39859 / 9357
↖ ↑ ↗
← N 77.900710°
E 38.952026°		 ← 128.03 m → N 77.900710°
E 38.957519°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.899558°
E 38.952026°		 ← 128.04 m →
16 395 m²		 N 77.899558°
E 38.957519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608207702636719 y=0.142784118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608207702636719 × 216)
    floor (0.608207702636719 × 65536)
    floor (39859.5)     		tx = 39859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142784118652344 × 216)
    floor (0.142784118652344 × 65536)
    floor (9357.5)     		ty = 9357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39859 / 9357 ti = "16/39859/9357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39859/9357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39859 ÷ 216
    39859 ÷ 65536     		x = 0.608200073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9357 ÷ 216
    9357 ÷ 65536     		y = 0.142776489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608200073242188 × 2 - 1) × π
    0.216400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67984111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142776489257812 × 2 - 1) × π
    0.714447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24450151401027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67984111} λ = 0.67984111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24450151401027))-π/2
    2×atan(9.43571081428967)-π/2
    2×1.4652101018229-π/2
    2.9304202036458-1.57079632675     		φ = 1.35962388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67984111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.952026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35962388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.900710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39859 KachelY 9357 0.67984111 1.35962388 38.952026 77.900710
    Oben rechts KachelX + 1 39860 KachelY 9357 0.67993698 1.35962388 38.957519 77.900710
    Unten links KachelX 39859 KachelY + 1 9358 0.67984111 1.35960378 38.952026 77.899558
    Unten rechts KachelX + 1 39860 KachelY + 1 9358 0.67993698 1.35960378 38.957519 77.899558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35962388-1.35960378) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35962388-1.35960378) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67984111-0.67993698) × cos(1.35962388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209606445516911 × 6371000     		do = 128.025053434898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67984111-0.67993698) × cos(1.35960378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20962609896984 × 6371000     		du = 128.037057523585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35962388)-sin(1.35960378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209606445516911-0.20962609896984)×R²
    abs(0.67993698-0.67984111)×1.96534529290082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96534529290082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96534529290082e-05×40589641000000     		ar = 16395.2856751484m²