Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39859 / 41494
↖ ↑ ↗
← S 43.157109°
E 38.952026°		 ← 445.56 m → S 43.157109°
E 38.957519°		 →
↑
445.59 m
↓
↑
445.59 m
↓
S 43.161116°
E 38.952026°		 ← 445.53 m →
198 529 m²		 S 43.161116°
E 38.957519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608207702636719 y=0.633155822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608207702636719 × 216)
    floor (0.608207702636719 × 65536)
    floor (39859.5)     		tx = 39859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633155822753906 × 216)
    floor (0.633155822753906 × 65536)
    floor (41494.5)     		ty = 41494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39859 / 41494 ti = "16/39859/41494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39859/41494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39859 ÷ 216
    39859 ÷ 65536     		x = 0.608200073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41494 ÷ 216
    41494 ÷ 65536     		y = 0.633148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608200073242188 × 2 - 1) × π
    0.216400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67984111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.26629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.83659477216922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67984111} λ = 0.67984111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83659477216922))-π/2
    2×atan(0.433183101927995)-π/2
    2×0.408781340948075-π/2
    0.817562681896151-1.57079632675     		φ = -0.75323364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67984111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.952026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75323364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.157109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39859 KachelY 41494 0.67984111 -0.75323364 38.952026 -43.157109
    Oben rechts KachelX + 1 39860 KachelY 41494 0.67993698 -0.75323364 38.957519 -43.157109
    Unten links KachelX 39859 KachelY + 1 41495 0.67984111 -0.75330358 38.952026 -43.161116
    Unten rechts KachelX + 1 39860 KachelY + 1 41495 0.67993698 -0.75330358 38.957519 -43.161116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75323364--0.75330358) × R
    6.99399999999351e-05 × 6371000     		dl = 445.587739999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75323364--0.75330358) × R
    6.99399999999351e-05 × 6371000     		dr = 445.587739999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67984111-0.67993698) × cos(-0.75323364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729480872932629 × 6371000     		do = 445.557995636164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67984111-0.67993698) × cos(-0.75330358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729433032103837 × 6371000     		du = 445.528775043031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75323364)-sin(-0.75330358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729480872932629-0.729433032103837)×R²
    abs(0.67993698-0.67984111)×4.78408287920562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78408287920562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78408287920562e-05×40589641000000     		ar = 198528.670226207m²