Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39858 / 41499
↖ ↑ ↗
← S 43.177141°
E 38.946533°		 ← 445.41 m → S 43.177141°
E 38.952026°		 →
↑
445.40 m
↓
↑
445.40 m
↓
S 43.181147°
E 38.946533°		 ← 445.38 m →
198 378 m²		 S 43.181147°
E 38.952026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608192443847656 y=0.633232116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608192443847656 × 216)
    floor (0.608192443847656 × 65536)
    floor (39858.5)     		tx = 39858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633232116699219 × 216)
    floor (0.633232116699219 × 65536)
    floor (41499.5)     		ty = 41499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39858 / 41499 ti = "16/39858/41499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39858/41499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39858 ÷ 216
    39858 ÷ 65536     		x = 0.608184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41499 ÷ 216
    41499 ÷ 65536     		y = 0.633224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608184814453125 × 2 - 1) × π
    0.21636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67974524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633224487304688 × 2 - 1) × π
    -0.266448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.837074141165421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67974524} λ = 0.67974524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837074141165421))-π/2
    2×atan(0.432975497142877)-π/2
    2×0.408606524357321-π/2
    0.817213048714642-1.57079632675     		φ = -0.75358328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67974524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.946533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75358328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.177141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39858 KachelY 41499 0.67974524 -0.75358328 38.946533 -43.177141
    Oben rechts KachelX + 1 39859 KachelY 41499 0.67984111 -0.75358328 38.952026 -43.177141
    Unten links KachelX 39858 KachelY + 1 41500 0.67974524 -0.75365319 38.946533 -43.181147
    Unten rechts KachelX + 1 39859 KachelY + 1 41500 0.67984111 -0.75365319 38.952026 -43.181147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75358328--0.75365319) × R
    6.99100000000064e-05 × 6371000     		dl = 445.39661000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75358328--0.75365319) × R
    6.99100000000064e-05 × 6371000     		dr = 445.39661000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67974524-0.67984111) × cos(-0.75358328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729241674165411 × 6371000     		do = 445.411895954549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67974524-0.67984111) × cos(-0.75365319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72919383603075 × 6371000     		du = 445.382677006958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75358328)-sin(-0.75365319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729241674165411-0.72919383603075)×R²
    abs(0.67984111-0.67974524)×4.78381346612489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78381346612489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78381346612489e-05×40589641000000     		ar = 198378.441582684m²