Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39857 / 9359
↖ ↑ ↗
← N 77.898407°
E 38.941040°		 ← 128.06 m → N 77.898407°
E 38.946533°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.897255°
E 38.941040°		 ← 128.07 m →
16 400 m²		 N 77.897255°
E 38.946533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608177185058594 y=0.142814636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608177185058594 × 216)
    floor (0.608177185058594 × 65536)
    floor (39857.5)     		tx = 39857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142814636230469 × 216)
    floor (0.142814636230469 × 65536)
    floor (9359.5)     		ty = 9359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39857 / 9359 ti = "16/39857/9359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39857/9359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39857 ÷ 216
    39857 ÷ 65536     		x = 0.608169555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9359 ÷ 216
    9359 ÷ 65536     		y = 0.142807006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608169555664062 × 2 - 1) × π
    0.216339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67964936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142807006835938 × 2 - 1) × π
    0.714385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24430976641179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67964936} λ = 0.67964936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24430976641179))-π/2
    2×atan(9.43390171285205)-π/2
    2×1.46519000417236-π/2
    2.93038000834471-1.57079632675     		φ = 1.35958368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67964936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.941040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35958368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.898407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39857 KachelY 9359 0.67964936 1.35958368 38.941040 77.898407
    Oben rechts KachelX + 1 39858 KachelY 9359 0.67974524 1.35958368 38.946533 77.898407
    Unten links KachelX 39857 KachelY + 1 9360 0.67964936 1.35956358 38.941040 77.897255
    Unten rechts KachelX + 1 39858 KachelY + 1 9360 0.67974524 1.35956358 38.946533 77.897255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35958368-1.35956358) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35958368-1.35956358) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(1.35958368) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209645752338078 × 6371000     		do = 128.062418091492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(1.35956358) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209665405621616 × 6371000     		du = 128.074423328829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35958368)-sin(1.35956358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209645752338078-0.209665405621616)×R²
    abs(0.67974524-0.67964936)×1.96532835389507e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.96532835389507e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.96532835389507e-05×40589641000000     		ar = 16400.0705580406m²