Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39857 / 41686
↖ ↑ ↗
← S 43.921637°
E 38.941040°		 ← 439.99 m → S 43.921637°
E 38.946533°		 →
↑
439.98 m
↓
↑
439.98 m
↓
S 43.925594°
E 38.941040°		 ← 439.96 m →
193 581 m²		 S 43.925594°
E 38.946533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608177185058594 y=0.636085510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608177185058594 × 216)
    floor (0.608177185058594 × 65536)
    floor (39857.5)     		tx = 39857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636085510253906 × 216)
    floor (0.636085510253906 × 65536)
    floor (41686.5)     		ty = 41686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39857 / 41686 ti = "16/39857/41686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39857/41686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39857 ÷ 216
    39857 ÷ 65536     		x = 0.608169555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41686 ÷ 216
    41686 ÷ 65536     		y = 0.636077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608169555664062 × 2 - 1) × π
    0.216339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67964936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636077880859375 × 2 - 1) × π
    -0.27215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855002541623322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67964936} λ = 0.67964936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855002541623322))-π/2
    2×atan(0.425282110173971)-π/2
    2×0.402109573028331-π/2
    0.804219146056661-1.57079632675     		φ = -0.76657718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67964936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.941040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76657718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.921637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39857 KachelY 41686 0.67964936 -0.76657718 38.941040 -43.921637
    Oben rechts KachelX + 1 39858 KachelY 41686 0.67974524 -0.76657718 38.946533 -43.921637
    Unten links KachelX 39857 KachelY + 1 41687 0.67964936 -0.76664624 38.941040 -43.925594
    Unten rechts KachelX + 1 39858 KachelY + 1 41687 0.67974524 -0.76664624 38.946533 -43.925594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76657718--0.76664624) × R
    6.90600000000652e-05 × 6371000     		dl = 439.981260000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76657718--0.76664624) × R
    6.90600000000652e-05 × 6371000     		dr = 439.981260000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(-0.76657718) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720289205168093 × 6371000     		do = 439.989727005174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(-0.76664624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720241298331892 × 6371000     		du = 439.960463043379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76657718)-sin(-0.76664624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720289205168093-0.720241298331892)×R²
    abs(0.67974524-0.67964936)×4.79068362007062e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79068362007062e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79068362007062e-05×40589641000000     		ar = 193580.796754727m²