Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39857 / 41683
↖ ↑ ↗
← S 43.909766°
E 38.941040°		 ← 440.08 m → S 43.909766°
E 38.946533°		 →
↑
440.04 m
↓
↑
440.04 m
↓
S 43.913723°
E 38.941040°		 ← 440.05 m →
193 647 m²		 S 43.913723°
E 38.946533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608177185058594 y=0.636039733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608177185058594 × 216)
    floor (0.608177185058594 × 65536)
    floor (39857.5)     		tx = 39857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636039733886719 × 216)
    floor (0.636039733886719 × 65536)
    floor (41683.5)     		ty = 41683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39857 / 41683 ti = "16/39857/41683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39857/41683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39857 ÷ 216
    39857 ÷ 65536     		x = 0.608169555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41683 ÷ 216
    41683 ÷ 65536     		y = 0.636032104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608169555664062 × 2 - 1) × π
    0.216339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.67964936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636032104492188 × 2 - 1) × π
    -0.272064208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.854714920225601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67964936} λ = 0.67964936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854714920225601))-π/2
    2×atan(0.42540444800157)-π/2
    2×0.402213168655613-π/2
    0.804426337311226-1.57079632675     		φ = -0.76636999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67964936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.941040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76636999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.909766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39857 KachelY 41683 0.67964936 -0.76636999 38.941040 -43.909766
    Oben rechts KachelX + 1 39858 KachelY 41683 0.67974524 -0.76636999 38.946533 -43.909766
    Unten links KachelX 39857 KachelY + 1 41684 0.67964936 -0.76643906 38.941040 -43.913723
    Unten rechts KachelX + 1 39858 KachelY + 1 41684 0.67974524 -0.76643906 38.946533 -43.913723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76636999--0.76643906) × R
    6.90700000000044e-05 × 6371000     		dl = 440.044970000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76636999--0.76643906) × R
    6.90700000000044e-05 × 6371000     		dr = 440.044970000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(-0.76636999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720432911999446 × 6371000     		do = 440.077510535792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67964936-0.67974524) × cos(-0.76643906) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.720385008534475 × 6371000     		du = 440.048248633318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76636999)-sin(-0.76643906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720432911999446-0.720385008534475)×R²
    abs(0.67974524-0.67964936)×4.79034649711885e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79034649711885e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79034649711885e-05×40589641000000     		ar = 193647.456721701m²