Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39856 / 9358
↖ ↑ ↗
← N 77.899558°
E 38.935547°		 ← 128.04 m → N 77.899558°
E 38.941040°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.898407°
E 38.935547°		 ← 128.05 m →
16 397 m²		 N 77.898407°
E 38.941040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608161926269531 y=0.142799377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608161926269531 × 216)
    floor (0.608161926269531 × 65536)
    floor (39856.5)     		tx = 39856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142799377441406 × 216)
    floor (0.142799377441406 × 65536)
    floor (9358.5)     		ty = 9358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39856 / 9358 ti = "16/39856/9358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39856/9358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39856 ÷ 216
    39856 ÷ 65536     		x = 0.608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9358 ÷ 216
    9358 ÷ 65536     		y = 0.142791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608154296875 × 2 - 1) × π
    0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142791748046875 × 2 - 1) × π
    0.71441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24440564021103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67955349} λ = 0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24440564021103))-π/2
    2×atan(9.4348062202095)-π/2
    2×1.46520005346863-π/2
    2.93040010693727-1.57079632675     		φ = 1.35960378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35960378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.899558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39856 KachelY 9358 0.67955349 1.35960378 38.935547 77.899558
    Oben rechts KachelX + 1 39857 KachelY 9358 0.67964936 1.35960378 38.941040 77.899558
    Unten links KachelX 39856 KachelY + 1 9359 0.67955349 1.35958368 38.935547 77.898407
    Unten rechts KachelX + 1 39857 KachelY + 1 9359 0.67964936 1.35958368 38.941040 77.898407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35960378-1.35958368) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35960378-1.35958368) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67955349-0.67964936) × cos(1.35960378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20962609896984 × 6371000     		do = 128.037057523585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67955349-0.67964936) × cos(1.35958368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209645752338078 × 6371000     		du = 128.049061560544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35960378)-sin(1.35958368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20962609896984-0.209645752338078)×R²
    abs(0.67964936-0.67955349)×1.96533682379485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96533682379485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96533682379485e-05×40589641000000     		ar = 16396.8228806556m²