Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39855 / 41671
↖ ↑ ↗
← S 43.862257°
E 38.930054°		 ← 440.38 m → S 43.862257°
E 38.935547°		 →
↑
440.36 m
↓
↑
440.36 m
↓
S 43.866218°
E 38.930054°		 ← 440.35 m →
193 922 m²		 S 43.866218°
E 38.935547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608146667480469 y=0.635856628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608146667480469 × 216)
    floor (0.608146667480469 × 65536)
    floor (39855.5)     		tx = 39855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635856628417969 × 216)
    floor (0.635856628417969 × 65536)
    floor (41671.5)     		ty = 41671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39855 / 41671 ti = "16/39855/41671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39855/41671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39855 ÷ 216
    39855 ÷ 65536     		x = 0.608139038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41671 ÷ 216
    41671 ÷ 65536     		y = 0.635848999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608139038085938 × 2 - 1) × π
    0.216278076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67945762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635848999023438 × 2 - 1) × π
    -0.271697998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85356443463472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67945762} λ = 0.67945762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85356443463472))-π/2
    2×atan(0.425894151333591)-π/2
    2×0.402627757826868-π/2
    0.805255515653737-1.57079632675     		φ = -0.76554081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67945762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.930054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76554081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.862257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39855 KachelY 41671 0.67945762 -0.76554081 38.930054 -43.862257
    Oben rechts KachelX + 1 39856 KachelY 41671 0.67955349 -0.76554081 38.935547 -43.862257
    Unten links KachelX 39855 KachelY + 1 41672 0.67945762 -0.76560993 38.930054 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 39856 KachelY + 1 41672 0.67955349 -0.76560993 38.935547 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76554081--0.76560993) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dl = 440.363520000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76554081--0.76560993) × R
    6.91200000000336e-05 × 6371000     		dr = 440.363520000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67945762-0.67955349) × cos(-0.76554081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721007721027356 × 6371000     		do = 440.382698079071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67945762-0.67955349) × cos(-0.76560993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 440.353443275908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76554081)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721007721027356-0.72095982418888)×R²
    abs(0.67955349-0.67945762)×4.7896838475614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7896838475614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7896838475614e-05×40589641000000     		ar = 193922.033776163m²