Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39851 / 41357
↖ ↑ ↗
← S 42.605663°
E 38.908081°		 ← 449.56 m → S 42.605663°
E 38.913574°		 →
↑
449.60 m
↓
↑
449.60 m
↓
S 42.609706°
E 38.908081°		 ← 449.53 m →
202 115 m²		 S 42.609706°
E 38.913574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608085632324219 y=0.631065368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608085632324219 × 216)
    floor (0.608085632324219 × 65536)
    floor (39851.5)     		tx = 39851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631065368652344 × 216)
    floor (0.631065368652344 × 65536)
    floor (41357.5)     		ty = 41357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39851 / 41357 ti = "16/39851/41357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39851/41357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39851 ÷ 216
    39851 ÷ 65536     		x = 0.608078002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41357 ÷ 216
    41357 ÷ 65536     		y = 0.631057739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608078002929688 × 2 - 1) × π
    0.216156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67907412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631057739257812 × 2 - 1) × π
    -0.262115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.823460061673325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67907412} λ = 0.67907412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.823460061673325))-π/2
    2×atan(0.438910367210198)-π/2
    2×0.413593611900393-π/2
    0.827187223800786-1.57079632675     		φ = -0.74360910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67907412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.908081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74360910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.605663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39851 KachelY 41357 0.67907412 -0.74360910 38.908081 -42.605663
    Oben rechts KachelX + 1 39852 KachelY 41357 0.67916999 -0.74360910 38.913574 -42.605663
    Unten links KachelX 39851 KachelY + 1 41358 0.67907412 -0.74367967 38.908081 -42.609706
    Unten rechts KachelX + 1 39852 KachelY + 1 41358 0.67916999 -0.74367967 38.913574 -42.609706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74360910--0.74367967) × R
    7.0569999999992e-05 × 6371000     		dl = 449.601469999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74360910--0.74367967) × R
    7.0569999999992e-05 × 6371000     		dr = 449.601469999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67907412-0.67916999) × cos(-0.74360910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.736030182017006 × 6371000     		do = 449.558233526851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67907412-0.67916999) × cos(-0.74367967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735982407913028 × 6371000     		du = 449.529053688419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74360910)-sin(-0.74367967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736030182017006-0.735982407913028)×R²
    abs(0.67916999-0.67907412)×4.77741039779378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77741039779378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77741039779378e-05×40589641000000     		ar = 202115.483079004m²